Autor Tema: Isomorfismo complejos

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16 Julio, 2020, 09:18 pm
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conchivgr

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Hola.

Sabemos que si $$F$$ es un cuerpo, tenemos que $$F[X]/(x^2+1)$$ es un cuerpo isomorfo al cuerpo de los números complejos $$\mathbb{C}$$. Pero, en que sentido?.

Es decir, el cuerpo $$F[X]/(x^2+1)$$ es isomorfo a $$F(X)$$, por el Primer Teorema de Isomorfismo, cada elemento se escribe de la forma $$ax+b$$ con $$a$$ y $$b$$ reales.

Identificamos cada punto del plano complejo con cada punto del plano real, pero

cual es el isomorfismo y en que sentido son isomorfos?.

Es decir, los números complejos son un cuerpo, pero los puntos del plano real no.

Besos.


16 Julio, 2020, 09:50 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola.

Sabemos que si $$F$$ es un cuerpo, tenemos que $$F[X]/(x^2+1)$$ es un cuerpo isomorfo al cuerpo de los números complejos $$\mathbb{C}$$. Pero, en que sentido?.

Es decir, el cuerpo $$F[X]/(x^2+1)$$ es isomorfo a $$F(X)$$, por el Primer Teorema de Isomorfismo, cada elemento se escribe de la forma $$ax+b$$ con $$a$$ y $$b$$ reales.

Identificamos cada punto del plano complejo con cada punto del plano real, pero

cual es el isomorfismo y en que sentido son isomorfos?.

Es decir, los números complejos son un cuerpo, pero los puntos del plano real no.

Besos.



Es un isomorfismo de cuerpo, es decir, hay una función lineal \( T:F[x]/(x^2+1)\to \mathbb C  \) que respeta todas las operaciones de un cuerpo, es decir

\( \displaystyle{
T(r+s)=T(r)+T(s), \quad T(r\cdot s)=T(r)\cdot T(s),\quad T(r^{-1})=(T(r))^{-1},\quad T(1)=1,\quad T(0)=0
} \)

Entonces el mapa lineal definido por \( a+bx\mapsto a+bi \) es un isomorfismo entre los cuerpos. Aquí no hablamos de puntos en el plano real sino puntos en el cuerpo \( F[x]/(x^2+1) \) donde existe una operación de multiplicación bien definida por \( [a+bx]\cdot [c+dx]=[ac+(cb+da)x+bdx^2]=[ac-bd+(cb+da)x] \) donde los corchetes denotan clases de equivalencia. Si cambias \( x \) por el número imaginario \( i \) verás que la operación se mantiene, y es fácil de comprobar que se cumplen cosas como \( [x]^{-1}=[-x] \) ya que \( [x]\cdot [-x]=[-x^2]=[1] \). Etc...

16 Julio, 2020, 10:02 pm
Respuesta #2

conchivgr

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Entendido,  muchas gracias.
Besos  :-*

16 Julio, 2020, 10:12 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Cuidado porque en general para un cuerpo \( F \) no es cierto que \( F[X]/(X^2+1) \cong \Bbb C \). Es cierto si \( F = \Bbb R \) pero no en otras situaciones. Por ejemplo, si \( F=\Bbb Q \) obtienes \( \Bbb Q(i) \) que es más pequeño que \( \Bbb C \).

Por otro lado tampoco creo que sea correcto decir que \( F[X]/(X^2+1) \cong F(X) \). Normalmente por \( F(X) \) se entiende el cuerpo de funciones racionales con coeficientes en \( F \), que es una extensión trascendente, mientras que \( F[X]/(X^2+1) \) es una extensión algebraica (de grado como mucho \( 2 \)). La verdad es que no me queda claro qué querías decir aquí.

Por lo demás, a tu pregunta ya te ha respondido perfectamente Masacroso.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)