Autor Tema: Matriz asociada a la transformación lineal

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16 Julio, 2020, 02:32 pm
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JoanL

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Hola a todos y todas.
Tengo una duda con respecto al siguiente ejercicio:
\( \textrm{Sea }V:=gen\{1,x-3,senx\}\textrm{ y }W:=gen\{-2,3cosx\}. \textrm{ Encuentre la matriz que representa la transformación lineal }\frac{d}{dx}:V\longrightarrow{}W \textrm{, en las bases {1,x,senx} y {1,cosx}} \).
La verdad no entiendo cómo calcular la matriz a partir de la transformación dada.
Les agradecería mucho la ayuda que me puedan dar.

Saludos

16 Julio, 2020, 06:45 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola a todos y todas.
Tengo una duda con respecto al siguiente ejercicio:

Sea \( V:=\mathrm{gen}\{1,x-3,\operatorname{sen} x\}\textrm{ y }W:=\mathrm{gen}\{-2,3\cos x\}. \) Encuentre la matriz que representa la transformación lineal \( \frac{d}{dx}:V\longrightarrow{}W \), en las bases \( \{1,x,\operatorname{sen} x\} \) y \( \{1,\cos x\} \).

La verdad no entiendo cómo calcular la matriz a partir de la transformación dada.
Les agradecería mucho la ayuda que me puedan dar.

Saludos

Primero tienes que asociar cada vector de \( V \) y \( W \) a un vector de \( \mathbb{R}^3 \) y \( \mathbb{R}^2 \) respectivamente, ya que la matriz que te piden pertenece a \( \mathbb{R}^{2\times 3} \). Como te dan bases de \( V \) y \( W \) entonces primero debes asociar esas bases a bases de \( \mathbb{R}^3 \) y \( \mathbb{R}^2 \), lo razonable o lo sencillo es asociarlas a las bases canónicas, es decir que \( 1\mapsto (1,0,0),\, x\mapsto (0,1,0) \) etcétera.

Una vez tengas eso la derivada te define un mapa lineal \( T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2 \), y al usar las bases canónicas cada columna de la matriz \( A \) que representa a \( T \) será el vector imagen de la base canónica de \( \mathbb{R}^3 \), es decir que \( [A]_{\bullet,j}=(Te_j)^\top \), donde \( e_1,e_2,e_3 \) es la base canónica de \( \mathbb{R}^3 \) y \( [A]_{\bullet,j} \) es la \( j \)-ésima columna de la matriz \( A \) que representa la transformación definida por \( T \), la cual a su vez representa la transformación definida por la derivada entre \( V \) y \( W \).

Es decir: primero construimos unos isomorfismos \( V\to \mathbb{R}^3 \) y \( W\to  \mathbb{R}^2 \) asociando la bases de \( V \) y \( W \) a las bases canónicas de \( \mathbb{R}^3 \) y \( \mathbb{R}^2 \), y con eso hallamos la forma que adopta la función lineal \( \frac{d}{dx} \) bajo esos isomorfismos como una función lineal \( T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2 \). Una vez hallada \( T \) ahora buscamos su representación matricial \( A \) utilizando el isomorfismo canónico entre \( \mathcal{L}(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^2) \) (el espacio de funciones lineales entre \( \mathbb{R}^3 \) y \( \mathbb{R}^2 \)) y \( \mathbb{R}^{2\times 3} \) (el espacio de matrices con coeficientes reales de dos filas y tres columnas).

16 Julio, 2020, 11:32 pm
Respuesta #2

Jorgealmeralla

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Lo primero que debes hacer es evaluar la transformación lineal en los elementos de la base \(  \left\{{1,x,senx}\right\}  \) y ponerlos como combinación lineal de los elementos de \(  \left\{{1,cosx}\right\}  \).

\(  T(1) = \frac{d}{dx}(1) = 0=0(1)+0(cosx)  \)

\(  T(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1 =1(1)+0(cosx)  \)

\(  T(senx) = \frac{d}{dx}(senx) = cosx = 0(1)+1(cosx)  \)

Nota: aquí estoy considerando que el dominio de las funciones es \( \mathbb{R} \), de modo que las combinaciones lineales se deben de cumplir para todo \( x\in{R} \)

Luego, la primer columna de mi matriz va a estar formada por el vector coordenada de mi primer combinación lineal. la segunda columna por el vector coordenada de mi segunda combinación lineal, y la tercer columna por el vector coordenada de mi tercer combinación lineal.

\(  \begin{pmatrix} {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{pmatrix}  \)

Esta seria la representación matricial de la transformación lineal derivada en las bases dichas.