Autor Tema: Definición de convergencia uniforme entre espacios métricos

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14 Julio, 2020, 06:39 pm
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clizama

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Si considero los espacios métricos \( (M,d_M) \) y \( (N,d_N) \)

¿Cuál es la definición de convergencia uniforme entre espacios métricos, donde \( \{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} \) con \( f_n:M\longrightarrow{N} \)? ¿y cómo escribiría que \( f_n\rightrightarrows{f} \)? considerando obviamente que \( f:M\longrightarrow{N} \)

¿y como demuestro que \( f_n \) es contínua si \( \{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} \) es una sucesión de funciones continuas?

15 Julio, 2020, 09:41 am
Respuesta #1

geómetracat

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Es básicamente la misma que para funciones en \( \Bbb R \). Una sucesión de funciones \( f_n:M \to N \) converge uniformemente a \( f \) si para todo \( \epsilon>0 \) existe \( n_0 \) tal que para todo \( n>n_0 \) y para todo \( x\in M \) se cumple \( d_N(f_n(x),f(x))<\epsilon \).
Fíjate que no se usa la distancia en \( M \), así que de hecho podrías generalizar la definición al caso en que \( M \) es un conjunto (aunque para que la parte de la continuidad de después tenga sentido es necesario que \( M \) sea por lo menos un espacio topológico).

Sobre lo último, imagino que te refieres a demostrar que si las \( f_n \) son continuas y \( f_n \to f \) uniformemente entonces \( f \) es continua. Esto también es igual que el caso real.
Intenta hacer tú la demostración, no es más que mirar la demostración usual para funciones de variable real y sustituir valores absolutos de diferencias por distancias en el espacio métrico. No deberías tener muchas dificultades, pero en caso de tenerlas vuelve a preguntar.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

17 Julio, 2020, 03:42 am
Respuesta #2

clizama

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Aun presento dificultades en la demostración :/

17 Julio, 2020, 08:09 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Aun presento dificultades en la demostración :/

Para ver que \( f:M\to N \) es continua en \( x_0\in M \) tienes que probar que para cualquier \( \epsilon>0 \) existe un \( \delta>0 \) tal que \( d(x,x_0)<\delta \) implica \( d(f(x),f(x_0))<\epsilon \).

Ahora dado que \( f_n\to f \) uniformemente existe un \( N \) tal que si \( n\geq N \) se cumple que \( d(f_n(x),f(y))<\epsilon/3 \) para todo \( x,y\in M \).

Por último como \( f_N \) es continua, existe un \( \delta>0 \) tal que si \( d(x,x_0)<\delta \) entonces \( d(f_N(x),f_N(x_0))<\epsilon/3 \).

Recapitulando, si \( d(x,x_0)<\delta \) y aplicando sucesivamente la desigualdad triangular de la distancia:

\( d(f(x),f(x_0))\leq d(f(x),f_N(x))+d(f_N(x),f_N(x_0))+d(f_N(x_0),f(x_0))<\dfrac{\epsilon}{3}+\dfrac{\epsilon}{3}+\dfrac{\epsilon}{3}=\epsilon \)

Saludos.

P.D. Cuando tengas dificultades es bueno que te acostumbres a detallarlas al máximo. El esfuerzo en explicar las dudas ayuda a entender mejor las cosas.