Hola,
Llegue hasta esta parte pero no se como seguir:
\(
\frac{A}{x+1} + \frac{B}{x}+ \frac{C}{x} = \frac{2x+1}{(x-1)x^2} \)
\(
2x + 1 = Ax^2 + Bx^2-Bx + Cx^2-Cx
\)
\( (x=1)->(A=3) \)
No me sale despejar B o C, por que si igualo una a cero la otra tambien se hace cero.
Cuando tienes factores repetidos, es decir, elevados a un natural mayor que \( 1 \), como es el caso de \( x^2 \), lo que tienes que hacer es descomponerlo de la siguiente forma:
\( \dfrac{p(x)}{(x+a)^n}=\dfrac{A_1}{x+a}+\dfrac{A_2}{(x+a)^2}+\cdots+\dfrac{A_n}{(x+a)^n} \)
Por tanto, en tu caso sería
\( \dfrac{A}{\color{red}{x-1}} + \dfrac{B}{x}+ \dfrac{C}{x^{\color{red}{2}}} = \dfrac{2x+1}{(x-1)x^2} \)
Prueba desde aquí y supongo que ya te saldrá.
Un saludo.
Pd. Has puesto el tema en el subforo equivocado, esto no corresponde a ecuaciones diferenciales. Deberías haberlo puesto en cálculo de una variable, que es donde supongo que algún moderador lo moverá, pero tenlo en cuenta para la próxima 
