Autor Tema: Extensiones

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11 Julio, 2020, 10:21 pm
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Fernando Moreno

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Hola, tengo esta duda.

Conocemos que por ejemplo  \( \mathbb{Q}(\sqrt{3}) \)  es una extensión de  \( \mathbb{Q} \) .  Y si tenemos para  \( x,y \)  enteros y cooprimos, que:  \( x+y\sqrt{3} \)  -y-  \( x-y\sqrt{3} \) ;  entonces estos dos números son coprimos salvo por  \( 2 \) ,  porque su suma es  \( 2x \)  -y-  su diferencia  \( 2y\sqrt{3} \) .

Lo que desconcozco es si  \( \mathbb{Z}(\frac{1}{3}) \)  podría considerarse una extensión de  \( \mathbb{Z} \)  -y- que dados dos números coprimos \( x,y \)  (\( y \)  no múltiplo de 3) tales que:  \( x+\dfrac{y}{3} \)  -y-  \( x-\dfrac{y}{3} \) ;  entonces estos números serían asimismo coprimos salvo por  \( 2 \) ,  porque su suma es  \( 2x \)  -y-  su diferencia  \( \dfrac{2y}{3} \) .

Un saludo
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12 Julio, 2020, 12:01 am
Respuesta #1

geómetracat

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Estas cosas son delicadas, bastante más delicadas de lo que parece.

Primero, en principio solamente tiene sentido hablar de elementos coprimos en dominios de factorización única. Esto lo digo porque el anillo de enteros de \( Q(\sqrt{3}) \) es un DFU, pero si en vez de \( 3 \) hubieras tomado otro número quizás no lo sería. Por otra parte, imagino que cuando hablas de elementos coprimos en \( Q(\sqrt{3}) \) en realidad te refieres a elementos coprimos en el anillo de enteros, que es \( \Bbb Z[\sqrt{3}] \).
Aún así, lo que dices no es cierto. Por ejemplo, en ese anillo \( 3=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} \), de manera que \( \sqrt{3} \mid 3+\sqrt{3} \) y \( \sqrt{3} \mid 3-\sqrt{3} \).

Sobre la segunda parte, no está claro qué es \( \Bbb Z\left(\frac{1}{3}\right) \). Imagino que te referirás a \( \Bbb Z\left[ \frac{1}{3} \right] \), que es el menor subanillo de \( \Bbb Q \) que contiene a \( \Bbb Z \) y a \( \frac{1}{3} \). En ese caso, ten cuidado porque un elemento arbitrario de ese anillo es de la forma:
\( a_0 + \frac{a_1}{3} + \frac{a_2}{3^2} + \dots + \frac{a_k}{3^k}  \), de manera que no puedes expresar un elemento cualquiera como \( x+\frac{y}{3} \), sino que hay que tener en cuenta potencias arbitrariamente altas de \( 3 \) en el denominador.
Dejando esto de lado, aquí el argumento funciona mejor, porque al considerar el anillo \( \Bbb Z\left[ \frac{1}{3} \right] \) lo que estás haciendo es "matar" el primo \( 3 \) de \( \Bbb Z \) (en efecto, ahora el \( 3 \) es una unidad) sin introducir primos nuevos. Es un ejemplo de un proceso mucho más general en anillos llamado "localización". Lo bueno es que la localización de un DFU siempre es DFU y además no introduce nuevos primos, solamente mata algunos de los antiguos convirtiéndolos en unidades. De manera que aquí el razonamiento funciona. En cambio, en los anillos de enteros de extensiones de \( \Bbb Q \) en general estás introduciendo nuevos primos, y algunos primos de \( \Bbb Z \) dejan de ser primos en la extensión pero no porque sean unidades, sino porque factorizan como producto de nuevos primos. Esto hace que la situación sea bastante más delicada.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

12 Julio, 2020, 12:41 pm
Respuesta #2

Fernando Moreno

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Hola geómetracat. Muchas gracias por la respuesta

Estas cosas son delicadas, bastante más delicadas de lo que parece.

Primero, en principio solamente tiene sentido hablar de elementos coprimos en dominios de factorización única. Esto lo digo porque el anillo de enteros de \( Q(\sqrt{3}) \) es un DFU, pero si en vez de \( 3 \) hubieras tomado otro número quizás no lo sería. Por otra parte, imagino que cuando hablas de elementos coprimos en \( Q(\sqrt{3}) \) en realidad te refieres a elementos coprimos en el anillo de enteros, que es \( \Bbb Z[\sqrt{3}] \).
Aún así, lo que dices no es cierto. Por ejemplo, en ese anillo \( 3=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} \), de manera que \( \sqrt{3} \mid 3+\sqrt{3} \) y \( \sqrt{3} \mid 3-\sqrt{3} \).

Escogí 3 porque sabía que era un DFU. Efectivamente, con otros no sucedería como con 5. Me refiero a coprimos en  \( \Bbb Z[\sqrt{3}] \) , disculpas. Respecto del ejemplo que puse sí funcionaría porque puse como condición que  \( x,y \)  eran coprimos, por lo que no podría darse  \( 3+\sqrt{3} \)  -y-  \(  3-\sqrt{3} \) . Pero vamos, que se entiende perfectamente lo que quieres decir.

Sobre la segunda parte, no está claro qué es \( \Bbb Z\left(\frac{1}{3}\right) \). Imagino que te referirás a \( \Bbb Z\left[ \frac{1}{3} \right] \), que es el menor subanillo de \( \Bbb Q \) que contiene a \( \Bbb Z \) y a \( \frac{1}{3} \). En ese caso, ten cuidado porque un elemento arbitrario de ese anillo es de la forma:
\( a_0 + \frac{a_1}{3} + \frac{a_2}{3^2} + \dots + \frac{a_k}{3^k}  \), de manera que no puedes expresar un elemento cualquiera como \( x+\frac{y}{3} \), sino que hay que tener en cuenta potencias arbitrariamente altas de \( 3 \) en el denominador.
Dejando esto de lado, aquí el argumento funciona mejor, porque al considerar el anillo \( \Bbb Z\left[ \frac{1}{3} \right] \) lo que estás haciendo es "matar" el primo \( 3 \) de \( \Bbb Z \) (en efecto, ahora el \( 3 \) es una unidad) sin introducir primos nuevos. Es un ejemplo de un proceso mucho más general en anillos llamado "localización". Lo bueno es que la localización de un DFU siempre es DFU y además no introduce nuevos primos, solamente mata algunos de los antiguos convirtiéndolos en unidades. De manera que aquí el razonamiento funciona. En cambio, en los anillos de enteros de extensiones de \( \Bbb Q \) en general estás introduciendo nuevos primos, y algunos primos de \( \Bbb Z \) dejan de ser primos en la extensión pero no porque sean unidades, sino porque factorizan como producto de nuevos primos. Esto hace que la situación sea bastante más delicada.

Sí me refería á  \( \Bbb Z\left[ \frac{1}{3} \right] \) .  Sobre esto último todavía me quedan algunas dudas. Creí que no era posible porque me refiero a una extensión de un anillo y no está definida la inversa de la multiplicación, pero veo ahora con agrado que sí puede ser posible así que voy un paso más allá:

Supongamos  \( x,y \)  coprimos -y-  \( y \)  no múltiplo de 3. Si  \( (x+\dfrac{y}{3})(x+\dfrac{y}{3})=k^5 \) ,  para  k  un entero impar. Como estos factores de la izquierda son ahora coprimos, pues no pueden tener como factor común á 2, al no dividir 4 á  \( k^5 \) ;  entonces serán ambos quintas potencias y por ejemplo:  \( \epsilon(a_0 + \frac{a_1}{3} + \frac{a_2}{3^2} + \dots + \frac{a_k}{3^k})^5=(x+\dfrac{y}{3}) \) .  En concreto, no sé de este ejemplo dos cosas: Primero, cuáles podrían ser todas sus unidades  (\( \epsilon \))  -y-  segundo, cuál sería la base de este anillo especial, ¿sería como parece  \( \left\{1,\dfrac{1}{3^n}\right\} \) ?

Gracias de antemano. Un saludo
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12 Julio, 2020, 03:25 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Escogí 3 porque sabía que era un DFU. Efectivamente, con otros no sucedería como con 5.
Perfecto, no estaba seguro de que lo supieras y por eso lo dije, por si acaso, pero ya veo que esto lo tienes claro.

Citar
Respecto del ejemplo que puse sí funcionaría porque puse como condición que  \( x,y \)  eran coprimos, por lo que no podría darse  \( 3+\sqrt{3} \)  -y-  \(  3-\sqrt{3} \) . Pero vamos, que se entiende perfectamente lo que quieres decir.
Igual se me escapa algo, pero en mi ejemplo \( x=3,y=1 \) que son enteros coprimos, ¿no?

Citar
Creí que no era posible porque me refiero a una extensión de un anillo y no está definida la inversa de la multiplicación, pero veo ahora con agrado que sí puede ser posible así que voy un paso más allá:
No entiendo muy bien a qué te refieres aquí. En cualquier caso ya ves que sí funciona. Como dije en el mensaje anterior, la construcción general se llama localización de un anillo, y la idea es, partiendo de un anillo \( A \), añadir inversos de algunos elementos de \( A \) para obtener otro anillo \( A' \) donde estos elementos son ahora invertibles. En general tienes una aplicación \( i:A \to A' \) pero para anillos generales no tiene por qué ser inyectiva, de manera que \( A' \) no tiene por qué ser extensión de \( A \). Ahora bien, si \( A \) es dominio de integridad (como pasa con \( \Bbb Z \)) entonces \( i \) siempre es inyectiva y en estos casos obtienes una extensión de anillos.

Citar
Supongamos  \( x,y \)  coprimos -y-  \( y \)  no múltiplo de 3. Si  \( (x+\dfrac{y}{3})(x+\dfrac{y}{3})=k^5 \) ,  para  k  un entero impar. Como estos factores de la izquierda son ahora coprimos, pues no pueden tener como factor común á 2, al no dividir 4 á  \( k^5 \) ;  entonces serán ambos quintas potencias y por ejemplo:  \( \epsilon(a_0 + \frac{a_1}{3} + \frac{a_2}{3^2} + \dots + \frac{a_k}{3^k})^5=(x+\dfrac{y}{3}) \) .
El razonamiento está bien (aunque ¿quizás querías decir \( (x+\dfrac{y}{3})(x-\dfrac{y}{3})=k^5 \)?), pero tiene un problema muy gordo que hace que no sirva para nada. Y es que si \( \alpha, \beta \in \Bbb Z\left[\frac{1}{3}\right] \) y \( \alpha\beta \in \Bbb Z \) entonces necesariamente \( \alpha \) o \( \beta \) (o ambos) son enteros. Esto es porque, poniendo denominador común, puedes suponer que \( \alpha = \frac{a}{3^n}, \beta = \frac{b}{3^m} \) de manera que \( \alpha\beta = \frac{ab}{3^{m+n}} \). Si \( \alpha\beta \in \Bbb Z \), tienes que \( 3^{n+m} \mid ab \), luego \( 3^n \mid a \) o \( 3^m \mid b \), es decir, \( \alpha \in \Bbb Z \) o \( \beta \in \Bbb Z \).
En la igualdad que propones eso implica que necesariamente \( y=0 \) y te queda \( x^2=k^5 \).

Citar
En concreto, no sé de este ejemplo dos cosas: Primero, cuáles podrían ser todas sus unidades  (\( \epsilon \))  -y-  segundo, cuál sería la base de este anillo especial, ¿sería como parece  \( \left\{1,\dfrac{1}{3^n}\right\} \) ?
Sobre la primera: las unidades son \( \pm 3^n, \pm \frac{1}{3^n} \) con \( n \geq 0 \). Es decir, \( 1,-1,3,-3,1/3,-1/3,3^2,-3^2,1/3^2,-1/3^2,\dots \).
Sobre la segunda: base no hay. Lo que propones (que entiendo es \( \{1, \frac{1}{3}, \frac{1}{3^2}, \dots, \frac{1}{3^n}, \dots \} \)) es un sistema generador (es decir, cualquier elemento de \( \Bbb Z \left[\frac{1}{3}\right] \) se expresa como combinación lineal de esos elementos con coeficientes en \( \Bbb Z \)), pero no es una base porque los generadores no son independientes.
Fíjate la diferencia con \( \Bbb Z[\sqrt{3}] \): si tienes una igualdad del estilo \( a+b\sqrt{3}=c+d\sqrt{3} \) entonces necesariamente \( a=c \) y \( b=d \), porque \( \{1,\sqrt{3}\} \) es base. En cambio, si tienes una igualdad del tipo \( a + b\frac{1}{3}=c+d\frac{1}{3} \), ya no puedes afirmar que \( a=c \) y \( b=d \). Por ejemplo, \( 1+0\frac{1}{3}=0+3\frac{1}{3} \).
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12 Julio, 2020, 04:36 pm
Respuesta #4

Fernando Moreno

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Hola geómetracat.


Respecto del ejemplo que puse sí funcionaría porque puse como condición que  \( x,y \)  eran coprimos, por lo que no podría darse  \( 3+\sqrt{3} \)  -y-  \(  3-\sqrt{3} \) . Pero vamos, que se entiende perfectamente lo que quieres decir.
Igual se me escapa algo, pero en mi ejemplo \( x=3,y=1 \) que son enteros coprimos, ¿no?

Se me ha escapado a mí, no a ti. Disculpas. Claro, para que sean coprimos además  \( x \)  no debe ser múltiplo de 3. Si no, la suma era  \( 2x \)  -y- la diferencia  \( 2y\sqrt{3} \)  -y- a parte de 2,  \( \sqrt{3} \)  también sería factor común.

Creí que no era posible porque me refiero a una extensión de un anillo y no está definida la inversa de la multiplicación, pero veo ahora con agrado que sí puede ser posible así que voy un paso más allá:
No entiendo muy bien a qué te refieres aquí. En cualquier caso ya ves que sí funciona. Como dije en el mensaje anterior, la construcción general se llama localización de un anillo, y la idea es, partiendo de un anillo \( A \), añadir inversos de algunos elementos de \( A \) para obtener otro anillo \( A' \) donde estos elementos son ahora invertibles. En general tienes una aplicación \( i:A \to A' \) pero para anillos generales no tiene por qué ser inyectiva, de manera que \( A' \) no tiene por qué ser extensión de \( A \). Ahora bien, si \( A \) es dominio de integridad (como pasa con \( \Bbb Z \)) entonces \( i \) siempre es inyectiva y en estos casos obtienes una extensión de anillos.

Tomo nota. Gracias

Supongamos  \( x,y \)  coprimos -y-  \( y \)  no múltiplo de 3. Si  \( (x+\dfrac{y}{3})(x+\dfrac{y}{3})=k^5 \) ,  para  k  un entero impar. Como estos factores de la izquierda son ahora coprimos, pues no pueden tener como factor común á 2, al no dividir 4 á  \( k^5 \) ;  entonces serán ambos quintas potencias y por ejemplo:  \( \epsilon(a_0 + \frac{a_1}{3} + \frac{a_2}{3^2} + \dots + \frac{a_k}{3^k})^5=(x+\dfrac{y}{3}) \) .
El razonamiento está bien (aunque ¿quizás querías decir \( (x+\dfrac{y}{3})(x-\dfrac{y}{3})=k^5 \)?), pero tiene un problema muy gordo que hace que no sirva para nada. Y es que si \( \alpha, \beta \in \Bbb Z\left[\frac{1}{3}\right] \) y \( \alpha\beta \in \Bbb Z \) entonces necesariamente \( \alpha \) o \( \beta \) (o ambos) son enteros. Esto es porque, poniendo denominador común, puedes suponer que \( \alpha = \frac{a}{3^n}, \beta = \frac{b}{3^m} \) de manera que \( \alpha\beta = \frac{ab}{3^{m+n}} \). Si \( \alpha\beta \in \Bbb Z \), tienes que \( 3^{n+m} \mid ab \), luego \( 3^n \mid a \) o \( 3^m \mid b \), es decir, \( \alpha \in \Bbb Z \) o \( \beta \in \Bbb Z \).
En la igualdad que propones eso implica que necesariamente \( y=0 \) y te queda \( x^2=k^5 \).

Claro, es que me he equivocado. En vez de  \( k^5 \)  entero tendría que haber puesto  \( \left({\dfrac{k}{3}}\right)^5 \) ,  para  \( k \)  entero no múltiplo de  \( 3 \) .  ¿Ahora si funcionaría no?    ( Sí, quería decir:  \( (x+\dfrac{y}{3})(x-\dfrac{y}{3})=k^5 \) )

En concreto, no sé de este ejemplo dos cosas: Primero, cuáles podrían ser todas sus unidades  (\( \epsilon \))  -y-  segundo, cuál sería la base de este anillo especial, ¿sería como parece  \( \left\{1,\dfrac{1}{3^n}\right\} \) ?
Sobre la primera: las unidades son \( \pm 3^n, \pm \frac{1}{3^n} \) con \( n \geq 0 \). Es decir, \( 1,-1,3,-3,1/3,-1/3,3^2,-3^2,1/3^2,-1/3^2,\dots \).
Sobre la segunda: base no hay. Lo que propones (que entiendo es \( \{1, \frac{1}{3}, \frac{1}{3^2}, \dots, \frac{1}{3^n}, \dots \} \)) es un sistema generador (es decir, cualquier elemento de \( \Bbb Z \left[\frac{1}{3}\right] \) se expresa como combinación lineal de esos elementos con coeficientes en \( \Bbb Z \)), pero no es una base porque los generadores no son independientes.
Fíjate la diferencia con \( \Bbb Z[\sqrt{3}] \): si tienes una igualdad del estilo \( a+b\sqrt{3}=c+d\sqrt{3} \) entonces necesariamente \( a=c \) y \( b=d \), porque \( \{1,\sqrt{3}\} \) es base. En cambio, si tienes una igualdad del tipo \( a + b\frac{1}{3}=c+d\frac{1}{3} \), ya no puedes afirmar que \( a=c \) y \( b=d \). Por ejemplo, \( 1+0\frac{1}{3}=0+3\frac{1}{3} \).

Tomo nota de todo. Gracias. Sólo una duda, entiendo que los generadores son  \( \pm a, \pm \frac{b}{3^n} \) . ¿Cuando dices que no son independientes a qué te refieres exactamente? Creo que quieres decir que no son linealmente independientes mientras que  \( a \)  -y-  \( b\sqrt{3} \)  sí lo serían, pero me falta una apreciación más para entenderlo del todo.

Un saludo
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12 Julio, 2020, 06:19 pm
Respuesta #5

geómetracat

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Claro, es que me he equivocado. En vez de  \( k^5 \)  entero tendría que haber puesto  \( \left({\dfrac{k}{3}}\right)^5 \) ,  para  \( k \)  entero no múltiplo de  \( 3 \) .  ¿Ahora si funcionaría no?    ( Sí, quería decir:  \( (x+\dfrac{y}{3})(x-\dfrac{y}{3})=k^5 \) )
Bueno, deberías poner términos con potencia en el denominador más alta, porque si no es imposible que te de algo con \( 3^5 \) en el denominador.

Citar
Tomo nota de todo. Gracias. Sólo una duda, entiendo que los generadores son  \( \pm a, \pm \frac{b}{3^n} \) . ¿Cuando dices que no son independientes a qué te refieres exactamente? Creo que quieres decir que no son linealmente independientes mientras que  \( a \)  -y-  \( b\sqrt{3} \)  sí lo serían, pero me falta una apreciación más para entenderlo del todo.

Aquí cuando digo conjunto de generadores me refiero a que generan \( \Bbb Z\left[\frac{1}{3}\right] \) como \( \Bbb Z \)-módulo. Esto quiere decir que cualquier elemento de \( \Bbb Z\left[\frac{1}{3}\right] \) se puede escribir como una combinación lineal de elementos del conjunto generador con coeficientes en \( \Bbb Z \). En nuestro caso, quiere decir que cualquier elemento del anillo se puede escribir de la forma \( a_0+a_1\frac{1}{3}+a_2\frac{1}{3^2}+\dots+a_n\frac{1}{3^n} \), con \( a_0,\dots,a_n \in \Bbb Z \). Por eso basta con decir que un conjunto de generadores es \( \{1,\frac{1}{3},\frac{1}{3^2},\dots \} \), y no es necesario escribir \( a, \frac{b}{3} \), etc. Los coeficientes enteros ya forman parte de la definición.

La definición de independencia lineal es la misma que en espacios vectoriales. En este caso quiere decir que si tienes \( a_0+a_1\frac{1}{3}+\dots+a_n\frac{1}{3^n}=0 \) implica que \( a_0=a_1=\dots=a_n=0 \). Equivalentemente, quiere decir que cualquier elemento del anillo se expresa de manera única como combinación lineal de elementos del conjunto con coeficientes enteros. Cosa que aquí no se cumple, como ya mostré antes. O con la primera definición: \( 1+(-3)\frac{1}{3}=0 \) pero los coeficientes no son cero.
En efecto, por otro lado \( \{1,\sqrt{3}\} \) sí que son linealmente independientes en \( \Bbb Z[\sqrt{3}] \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

12 Julio, 2020, 07:29 pm
Respuesta #6

Fernando Moreno

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Hola,

Claro, es que me he equivocado. En vez de  \( k^5 \)  entero tendría que haber puesto  \( \left({\dfrac{k}{3}}\right)^5 \) ,  para  \( k \)  entero no múltiplo de  \( 3 \) .  ¿Ahora si funcionaría no?    ( Sí, quería decir:  \( (x+\dfrac{y}{3})(x-\dfrac{y}{3})=k^5 \) )
Bueno, deberías poner términos con potencia en el denominador más alta, porque si no es imposible que te de algo con \( 3^5 \) en el denominador.

Estaba entendiendo que los 2 factores son coprimos, luego son quintas potencias y sí pueden tener potencias altas en el denomindador como  \( \alpha=\dfrac{a}{3^n} \) ,  para  \( \epsilon_1\epsilon_2\alpha^5\beta^5=\left({\dfrac{k}{3}}\right)^5 \) .

Tomo nota de todo. Gracias. Sólo una duda, entiendo que los generadores son  \( \pm a, \pm \frac{b}{3^n} \) . ¿Cuando dices que no son independientes a qué te refieres exactamente? Creo que quieres decir que no son linealmente independientes mientras que  \( a \)  -y-  \( b\sqrt{3} \)  sí lo serían, pero me falta una apreciación más para entenderlo del todo.



Aquí cuando digo conjunto de generadores me refiero a que generan \( \Bbb Z\left[\frac{1}{3}\right] \) como \( \Bbb Z \)-módulo. Esto quiere decir que cualquier elemento de \( \Bbb Z\left[\frac{1}{3}\right] \) se puede escribir como una combinación lineal de elementos del conjunto generador con coeficientes en \( \Bbb Z \). En nuestro caso, quiere decir que cualquier elemento del anillo se puede escribir de la forma \( a_0+a_1\frac{1}{3}+a_2\frac{1}{3^2}+\dots+a_n\frac{1}{3^n} \), con \( a_0,\dots,a_n \in \Bbb Z \). Por eso basta con decir que un conjunto de generadores es \( \{1,\frac{1}{3},\frac{1}{3^2},\dots \} \), y no es necesario escribir \( a, \frac{b}{3} \), etc. Los coeficientes enteros ya forman parte de la definición.

La definición de independencia lineal es la misma que en espacios vectoriales. En este caso quiere decir que si tienes \( a_0+a_1\frac{1}{3}+\dots+a_n\frac{1}{3^n}=0 \) implica que \( a_0=a_1=\dots=a_n=0 \). Equivalentemente, quiere decir que cualquier elemento del anillo se expresa de manera única como combinación lineal de elementos del conjunto con coeficientes enteros. Cosa que aquí no se cumple, como ya mostré antes. O con la primera definición: \( 1+(-3)\frac{1}{3}=0 \) pero los coeficientes no son cero.
En efecto, por otro lado \( \{1,\sqrt{3}\} \) sí que son linealmente independientes en \( \Bbb Z[\sqrt{3}] \).

Ok. Tomo nota.

Un saludo


PD. Hablando de extensiones, se me ocurre una mucho más complicada, quizás imposible:  \( \mathbb{Z}[\frac{1}{3},\omega] \) .  Por un lado "mato" al 3, cómo tú dices, convirtiéndolo en una unidad y por otro lo y la ramifico:  \( 3=-\omega^2(\omega-1)^2 \) .
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13 Julio, 2020, 12:38 pm
Respuesta #7

geómetracat

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Estaba entendiendo que los 2 factores son coprimos, luego son quintas potencias y sí pueden tener potencias altas en el denomindador como  \( \alpha=\dfrac{a}{3^n} \) ,  para  \( \epsilon_1\epsilon_2\alpha^5\beta^5=\left({\dfrac{k}{3}}\right)^5 \) .

Sí, eso es verdad, pero lo que decía es que \( (x+\frac{y}{3})(x-\frac{y}{3}) = \frac{k^5}{3^5} \) es imposible si \( y\neq 0 \), como se ve mirando denominadores de los dos lados. Eso no quiere decir que no se pueda factorizar de otras maneras.

Citar
PD. Hablando de extensiones, se me ocurre una mucho más complicada, quizás imposible:  \( \mathbb{Z}[\frac{1}{3},\omega] \) .  Por un lado "mato" al 3, cómo tú dices, convirtiéndolo en una unidad y por otro lo y la ramifico:  \( 3=-\omega^2(\omega-1)^2 \) .

¿Quién es \( \omega \) ahí? De todas formas sí que existe la extensión. De hecho siempre puedes hacer lo siguiente: dados unos elementos de \( \Bbb C \) (por ejemplo) considerar el subanillo de \( \Bbb C \) más pequeño que contenga a \( \Bbb Z \) y a esos elementos, esto siempre funciona y te da una extensión de \( \Bbb Z \).

Otro comentario es que quizás ese anillo no es muy interesante, porque como en ese anillo \( 3 \) es unidad, también lo es cualquier factor de \( 3 \), en particular en ese anillo \( \omega \) es una unidad.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)