Autor Tema: Prueba de hipótesis con razones de verosimilitud

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08 Julio, 2020, 08:47 am
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razielcero

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Hola!  :)

Estoy resolviendo el siguiente problema: contrastar \(  H_0 : \theta = 1  \) VS \(  H_1 : \theta > 1  \) mediante la razón de verosimilitudes para una población \( X  \) tal que \(  \displaystyle f(x) = \frac{1}{\theta} e^{\displaystyle - \frac{x}{\theta}}  \) con \(  x>0  \). Tomar \(  \alpha = 0.05  \) y \(  n= 10  \).

Bien, entonces ya he avanzado y sé que debo construir un \(  \lambda  \) tal que sea la razón entre las verosimilitudes. Luego de todo el proceso obtengo lo siguiente:
\(
\displaystyle
\lambda = \frac{e^{\sum{x_i}}}{{\bar{x}}^n e^n}
 \)

Ya comprobé que esa parte es correcta (o al menos lo contrasté con el libro guía y coincide con mi resultado). Ahora, dado que no conozco la distribución de lambda, entonces realizo \(  2ln\lambda  \) que sigue asintóticamente una distribución chi cuadrado:

\(
\displaystyle
 2ln(\lambda)\\
= 2 ln\left( \frac{e^{\sum{x_i}}}{\bar{x}^n e^n} \right)\\
= 2 \left[ ln \left(e^\sum{x_i} \right) - ln(\bar{x}e)^n \right]\\
= 2\sum{x_i} - 2nln(\bar{x}e)\\
= 2n\bar{x} - 2n[ln\bar{x} + ln(e)]\\
=2n\bar{x} - 2nln\bar{x} + 2n > k
 \)

La última expresión distribuye \(  \chi^2_1  \), así que \(  2n\bar{x} - 2nln\bar{x} + 2n > \chi^2_{1;0.05}  \)

con lo cual despejando dado que n no es variable, entonces se rechaza \(  H_0  \) con un nivel de confianza del 95% si \(  \bar{x} - ln\bar{x} > \displaystyle \frac{\chi^2_{1,0.05}}{2n} +1 =  1.192  \)

Quisiera preguntar, primero si mi procedimiento es correcto.

Segundo, so pena de ser quizás una pregunta tonta, pero no entiendo para qué al inicio necesito la condición de que \(  x > 0 \)  ??? No logro ver en qué momento utilizo esa parte o si es necesaria...

Saludos.

08 Julio, 2020, 09:19 am
Respuesta #1

geómetracat

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Yo lo veo bien.  :aplauso:
Salvo un par de erratas: en las dos penúltimas ecuaciones que pones el término \( +2n \) debería ser \( -2n \). Pero en la última ecuación sí que lo tienes bien.

Segundo, so pena de ser quizás una pregunta tonta, pero no entiendo para qué al inicio necesito la condición de que \(  x > 0 \)  ??? No logro ver en qué momento utilizo esa parte o si es necesaria...

Recuerda: la única pregunta tonta es la que no se hace.  ;)
Sí que es necesaria, aunque no se use explícitamente en ninguna parte. Primero, la necesitas para que \( f(x) \) sea una densidad, si no tuvieras esa restricción no integraría a \( 1 \). De hecho, esa densidad es la correspondiente a la distribución exponencial.
Segundo, si \( x \) pudiera tomar cualquier valor real, tendrías problemas a la hora de aplicar el test, porque perfectamente podría pasar que \( \overline{x}<0 \) y entonces el término \( \ln(\overline{x}) \) no tendría sentido.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

08 Julio, 2020, 06:32 pm
Respuesta #2

razielcero

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Como siempre muchas gracias geómetracat!

Con lo de \( x >0  \) , se ve que muchas veces me dedico solo a la parte algorítmica de los problemas y olvido revisar las condiciones conceptuales de los mismos  :banghead:

Saludos!  :)