Autor Tema: Prueba de hipótesis a una distribución de Poisson

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08 Julio, 2020, 08:38 am
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YeffGC

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Un tipógrafo asegurar que el número medio de errores por página que comete es 2, mientras el editor sospecha que es mayor. Suponiendo que el número de errores por página sigue una distribución de Poisson y que en una muestra de 200 páginas se encontraron 450 errores, realizar el contraste con un nivel de significación del \( 5\% \)

Debo resolver el ejercicio anterior pero no he podido construir las hipótesis o si hay que normalizar por la aproximación de la Poisson a la normal.

08 Julio, 2020, 08:51 am
Respuesta #1

geómetracat

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Sí, debes usar que como el número de páginas es grande (\( n=200 \)), puedes usar un test asintótico, usando el teorema central del límite. Es decir, puedes usar que \( \overline{X} \) se distribuye aproximadamente como una normal de media \( \lambda \) y varianza \( \lambda/n=\lambda/200 \).
Por lo demás es un test de una cola, contrastas:
\( H_0: \lambda = 2 \)
\( H_1: \lambda > 2 \)

Un ejemplo de la construcción de un test de este tipo la tienes aquí:
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=113747.0
Aunque ten cuidado porque allí el test es de dos colas y a ti te interesa de una cola.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

09 Julio, 2020, 07:27 am
Respuesta #2

YeffGC

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gracias eso me cuesta encontrar pero no es la media \(   n\lambda  \)

09 Julio, 2020, 09:38 am
Respuesta #3

geómetracat

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De verdad, intenta escribir mejor y con signos de puntuación, porque no se entiende lo que escribes.

No sé si estás preguntando si la media es \( n\lambda \). En ese caso no: la media es \( \lambda \). Si \( X \) sigue una distribución de Poisson de parámetro \( \lambda \), tienes que \( E[X]=\lambda \).
Si tienes una muestra aleatoria simple \( (X_1, \dots, X_n) \) (es decir, las variables son independientes entre sí y se distribuyen siguiendo una Poisson de parámetro \( \lambda \)), tienes que la suma \( X_1 + \dots + X_n \) se distribuye como una Poisson de parámetro \( n\lambda \), y por tanto de valor esperado \( n\lambda \). Quizás te referías a esto.
Pero lo que nos interesa para el test asintótico no es la suma, sino la media:
\[ \overline{X} = \frac{X_1 + \dots + X_n}{n} \].
Y esta tiene esperanza \( \lambda \) (porque el numerador tiene esperanza \( n\lambda \)), y varianza \( \lambda/n \) (porque el numerador tiene varianza \( n\lambda \)).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

10 Julio, 2020, 11:24 pm
Respuesta #4

YeffGC

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Si, mil disculpas por mi mala ortografía.

Esto he hecho:

sea
$$ H_0: \lambda=2  \text{ vs. } H_1: \lambda >2$$
utilizando el teorema del limite central tenemos que
\begin{eqnarray*}
P(\lambda)&\sim& N\left( \lambda, \sqrt{\displaystyle\frac{\lambda}{n}} \right)\\[0.3cm]
\text{ Ya que:  } \displaystyle\frac{x_1+ \ldots + x_n }{n} &\sim&    N\left( \lambda, \sqrt{\displaystyle\frac{\lambda}{n}} \right)\\[0.3cm]
\end{eqnarray*}
El promedio muestral por pagina es \(  \frac{450}{200}=2.5   \)

\begin{eqnarray*}
\Rightarrow P\left( \lambda >2.5 \mid \mu=2 \right)&=&1-\alpha\\[0.5cm]
P\left (Z>\displaystyle\frac{2.5-2}{\sqrt{\displaystyle\frac{2.5}{200}}} \right) &=&  0.95\\[0.5cm]
P (Z>4.47)&=&0.95\\[0.3cm]
1-P (Z<4.47)&=&0.95 \\[0.3cm]
P (Z<4.47)&=&0.05\\[0.3cm]
Z_{0.05}&=&1.64\\
\Longrightarrow Z&>&Z_{0.05}
\end{eqnarray*}
entonces se Rechaza la hipótesis nula.

esta correcto?

11 Julio, 2020, 04:23 pm
Respuesta #5

geómetracat

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No está bien. Hay algunos errores conceptuales y otros de cálculo. Vamos por partes.

utilizando el teorema del limite central tenemos que
\begin{eqnarray*}
P(\lambda)&\sim& N\left( \lambda, \sqrt{\displaystyle\frac{\lambda}{n}} \right)\\[0.3cm]
\text{ Ya que:  } \displaystyle\frac{x_1+ \ldots + x_n }{n} &\sim&    N\left( \lambda, \sqrt{\displaystyle\frac{\lambda}{n}} \right)\\[0.3cm]
\end{eqnarray*}
Esto está, como mínimo, mal expresado. La distribución \( P(\lambda) \) no es una normal, ni tiende a una normal (no puede tender a nada ya que no hay \( n \), su único parámetro es \( \lambda \) que es fijo).
En realidad lo que tienes es lo segundo que pones, que la media muestral
\[ \overline{X} = \frac{X_1 + \dots + X_n}{n} \]
se distribuye asintóticamente (para \( n \) grandes), como una \( N\left( \lambda, \sqrt{\frac{\lambda}{n}}\right) \).


Citar
El promedio muestral por pagina es \(  \frac{450}{200}=2.5   \)
Hay un error de cálculo: \( 450/200=2.25 \).

Citar
\begin{eqnarray*}
\Rightarrow P\left( \lambda >2.5 \mid \mu=2 \right)&=&1-\alpha\\[0.5cm]
P\left (Z>\displaystyle\frac{2.5-2}{\sqrt{\displaystyle\frac{2.5}{200}}} \right) &=&  0.95\\[0.5cm]
P (Z>4.47)&=&0.95\\[0.3cm]
1-P (Z<4.47)&=&0.95 \\[0.3cm]
P (Z<4.47)&=&0.05\\[0.3cm]
Z_{0.05}&=&1.64\\
\Longrightarrow Z&>&Z_{0.05}
\end{eqnarray*}
entonces se Rechaza la hipótesis nula.
No está bien. Primero, el estadístico que vas a usar es \( \overline{X} \), por lo que debes imponer \( P(\overline{X}>2.25 \mid \lambda=2)=1-\alpha \). Esto es lo mismo que:
\( P \left( Z > \frac{2.25-2}{\sqrt{\frac{2}{200}}}\right)=0.95 \)

Ojo porque en la raíz del denominador debes poner \( 2 \) y no \( 2.25 \), es decir el valor de \( \lambda \) bajo la hipótesis nula. Por lo denás el procedimiento está bien.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)