Autor Tema: Cuociente Notable

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

08 Julio, 2020, 07:43 am
Leído 387 veces

0_kool

  • Aprendiz
  • Mensajes: 331
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hallar p,q para que la expresión siguiente sea un cuociente  notable.

nota:Las x y las y  estan elevadas a esos  exponentes encerados en ()

\( \dfrac{X^{4q+2p-2} - Y^{6p+2q}}{X^{6p+2q}- Y^{q-1}} \)

(por alguna razón no me funciona látex)

CORREGIDO

\( \dfrac{X^{4p+3q-2} - Y^{6p+2q}}{X^{q} -Y ^{p-1}} \)
C O R R E G I D O.         
No sé qué pasó aquí ,disculpas.

   
.¿Cuál es la condición para que llege a ser cuociente notable en éste caso?

08 Julio, 2020, 08:43 am
Respuesta #1

sugata

  • Matemático
  • Mensajes: 2,619
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hallar p,q para que la expresión siguiente sea un cuociente  notable.

nota:Las x y las y  estan elevadas a esos  exponentes encerados en ()

\( \frac{X^{4q+2p-2} - Y^{6p+2q}}{X^
{6p+2q}- Y^{q-1}} \)

(por alguna razón no me funciona látex)

Cuando eleves a una expresión, métela entre llaves {}

08 Julio, 2020, 09:44 am
Respuesta #2

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,374
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola , revisa los exponentes porque me no me salen soluciones enteras para los exponentes, puede que me haya equivocado o exista un error en los exponentes si se supone que p y q deben ser enteros.
Mira este enlace.
https://es.wikipedia.org/wiki/Cocientes_notables

El caso más general es cuando los exponentes son distintos y una de las condiciones clave es.
\( \frac{p}{r}=\frac{q}{s} \)

Saludos.
Añadido.
P.D.: Bueno realmente ,no dice nada de que p y q deban ser enteros, tampoco explicita que des todas las soluciones posibles.

En ese caso, puedes probar a imponer que los exponentes de los terminos del numerador son iguales y los del denominador también , obteniendo un sistema.
Debes comprobar que los exponentes del numerador sean multiplos de los del denominador.
Te quedaría:
\( \dfrac{x^n-y^n}{x^m-y^m} \)
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

08 Julio, 2020, 10:09 am
Respuesta #3

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,374
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Reitero lo intuido al principio.

q debe ser entero, se deduce de:

\( q-1\in{\mathbb{Z}} \)

 y \( 2p\in{\mathbb{Z}} \) se deduce de:

\( 4q+2p-2\in{\mathbb{Z}} \)

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

08 Julio, 2020, 10:26 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,066
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Hola , revisa los exponentes porque me no me salen soluciones enteras para los exponentes, puede que me haya equivocado o exista un error en los exponentes si se supone que p y q deben ser enteros.

\( p=-1 \) y \( q=2 \).

Saludos.

08 Julio, 2020, 02:30 pm
Respuesta #5

0_kool

  • Aprendiz
  • Mensajes: 331
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Editado el problema , error de tipeo

09 Julio, 2020, 11:52 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,066
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Editado el problema , error de tipeo

En ese caso tienes que calcular las soluciones enteras de:

\( (4p+3q-2)(p-1)=(6p+2q)q \)

Hay técnicas para calcular soluciones enteras de una ecuación cuadrática; pero no es algo que se explique en dos líneas. Wolfram devuelve estos pares de soluciones:

p = -76, q = -66
p = -6, q = 14
p = -3, q = -4
p = -3, q = 7
p = 0, q = -2
p = 1, q = -3
p = 1, q = 0
p = 5, q = -12
p = 5, q = 3
p = 18, q = 14
p = 28, q = -66
p = 105, q = 88

Saludos.

09 Julio, 2020, 03:29 pm
Respuesta #7

0_kool

  • Aprendiz
  • Mensajes: 331
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola



En ese caso tienes que calcular las soluciones enteras de:

\( (4p+3q-2)(p-1)=(6p+2q)q \)


Gracias Luis por contestar , los valores los sé calcular , me podrías clarificar ¿por qué debe darse esa condición?

Ademas usando Mathematica hago  esto
FindInstance[(4 p + 3 q - 2) (p - 1) == (6 p + 2 q) q, {p,  q}, Integers] o esto
Solve[(4 p + 3 q - 2) (p - 1) == (6 p + 2 q) q, {p, q},
   PositiveIntegers] // Simplify

pero no consigo tus valores (podrías publicar tu código por favor)

09 Julio, 2020, 10:48 pm
Respuesta #8

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,066
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

 
Gracias Luis por contestar , los valores los sé calcular , me podrías clarificar ¿por qué debe darse esa condición?

Si \( x^a-y^b \) es divisible por \( x^c-y^d \), se tiene que:

\( x^a-y^b=(x^c-y^d)p(x,y) \)

Para un cierto polinomio \( p(x,y). \) Entonces como \( x^c-y^d \) se anula para \( x=y^{d/c} \) también \( x^a-y^b \) ha de anularse, es decir:

\( (y^{d/c})^a-y^b=0 \)

Equivalentemente \( y^{ad/c}=y^b \). Es decir: \( ad/c=b \); quitando denominadores \( ad=bc \).

Citar
Ademas usando Mathematica hago  esto
FindInstance[(4 p + 3 q - 2) (p - 1) == (6 p + 2 q) q, {p,  q}, Integers] o esto
Solve[(4 p + 3 q - 2) (p - 1) == (6 p + 2 q) q, {p, q},
   PositiveIntegers] // Simplify

pero no consigo tus valores (podrías publicar tu código por favor)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%284p%2B3q-2%29%28p-1%29%3D%286p%2B2q%29q+

Saludos.

09 Julio, 2020, 11:54 pm
Respuesta #9

0_kool

  • Aprendiz
  • Mensajes: 331
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Gracias Luis  tenia una idea , pero no se me ocurría como plantearlo.

Con respecto al código,debes tener la versión paga porque a mi no me salen tantos números,

10 Julio, 2020, 12:03 am
Respuesta #10

manooooh

  • Matemático
  • Mensajes: 2,991
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Con respecto al código,debes tener la versión paga porque a mi no me salen tantos números,

Hay un botón al lado de "Integer solutions:" que dice "More solutions", está a la derecha. Apretando 2 veces te salen todas las opciones que a Luis le salió.

Saludos

10 Julio, 2020, 11:50 am
Respuesta #11

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,374
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola Luis.
Hola

Hola , revisa los exponentes porque me no me salen soluciones enteras para los exponentes, puede que me haya equivocado o exista un error en los exponentes si se supone que p y q deben ser enteros.

\( p=-1 \) y \( q=2 \).

Saludos.
Si tu solución p=-1 y q=2 es para la primera expresión que puso 0_kool (más tarde corregida)

\( \dfrac{X^{4q+2p-2} - Y^{6p+2q}}{X^{6p+2q}- Y^{q-1}} \)

Salen como exponentes :

\( \dfrac{X^4- Y^{-2}}{X^{-2}- Y^{1}} \), que no cumplen la condición a la que hace referencia la wikipedia respecto a que los exponentes son o todos positivos o todos negativos.

No veo como el resultado puede ser un polinomio.
¿Podrías aclarármelo?
Gracias.


Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

10 Julio, 2020, 12:35 pm
Respuesta #12

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,066
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Salen como exponentes :

\( \dfrac{X^4- Y^{-2}}{X^{-2}- Y^{1}} \), que no cumplen la condición a la que hace referencia la wikipedia respecto a que los exponentes son o todos positivos o todos negativos.

No veo como el resultado puede ser un polinomio.

\( \dfrac{x^4-y^{-2}}{x^{-2}-y}=\dfrac{x^4(1-x^{-4}y^{-2})}{y(x^{-2}y^{-1}-1)}=\dfrac{x^4(1-x^{-2}y^{-1})(1+x^{-2}y^{-1})}{y(x^{-2}y^{-1}-1)}=-\dfrac{x^4(1+x^{-2}y^{-1})}{y}=-(x^4y^{-1}+x^2y^{-2}) \)

Saludos.

10 Julio, 2020, 06:22 pm
Respuesta #13

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,374
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Salen como exponentes :

\( \dfrac{X^4- Y^{-2}}{X^{-2}- Y^{1}} \), que no cumplen la condición a la que hace referencia la wikipedia respecto a que los exponentes son o todos positivos o todos negativos.

No veo como el resultado puede ser un polinomio.

\( \dfrac{x^4-y^{-2}}{x^{-2}-y}=\dfrac{x^4(1-x^{-4}y^{-2})}{y(x^{-2}y^{-1}-1)}=\dfrac{x^4(1-x^{-2}y^{-1})(1+x^{-2}y^{-1})}{y(x^{-2}y^{-1}-1)}=-\dfrac{x^4(1+x^{-2}y^{-1})}{y}=-(x^4y^{-1}+x^2y^{-2}) \)

Saludos.
Gracias.
 Se trata de un "polinomio" con algunos exponentes negativos.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.