Autor Tema: Probabilidad condicionada?

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08 Julio, 2020, 06:34 am
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Jambo

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Hola! Podrían ayudarme con el siguiente ejercicio?

Las semillas del proveedor A tienen una tasa de germinación del 85% y las del proveedor B tienen una tasa de germinación del 75%. Una empresa de envasado de semillas compra el 40% de sus semillas del proveedor A y el 60% del proveedor B, y mezcla estas semillas en una bolsa.
Dado que una semilla seleccionada al azar de la bolsa germina, calcular la probabilidad de que la semilla haya sido comprada al proveedor A.

Yo planteé los eventos \( GA \) y \( GB \) como los eventos "semillas que germinan del proveedor A" y "semillas que germinan del proveedor B"; luego planteé los eventos \( CA \) y \( CB \) como "compra semillas al proveedor A" y "compra semillas al proveedor al proveedor B". Lo que quiero calcular es \( P(CA| GA \cup{GB}) \), pero no estoy segura si esto esta bien  ??? Además, al momento de aplicar la definicion de probabilidad condicionada, me queda \( P(GA \cup{GB}) \) y yo creo que esto es igual a \( P(GA) + P(GB)  \) (porque serian disjuntos...) ¿esto es correcto?

Agradezco cualquier ayuda que puedan darme  :)

08 Julio, 2020, 08:29 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola! Podrían ayudarme con el siguiente ejercicio?

Las semillas del proveedor A tienen una tasa de germinación del 85% y las del proveedor B tienen una tasa de germinación del 75%. Una empresa de envasado de semillas compra el 40% de sus semillas del proveedor A y el 60% del proveedor B, y mezcla estas semillas en una bolsa.
Dado que una semilla seleccionada al azar de la bolsa germina, calcular la probabilidad de que la semilla haya sido comprada al proveedor A.

Yo planteé los eventos \( GA \) y \( GB \) como los eventos "semillas que germinan del proveedor A" y "semillas que germinan del proveedor B"; luego planteé los eventos \( CA \) y \( CB \) como "compra semillas al proveedor A" y "compra semillas al proveedor al proveedor B". Lo que quiero calcular es \( P(CA| GA \cup{GB}) \), pero no estoy segura si esto esta bien  ??? Además, al momento de aplicar la definicion de probabilidad condicionada, me queda \( P(GA \cup{GB}) \) y yo creo que esto es igual a \( P(GA) + P(GB)  \) (porque serian disjuntos...) ¿esto es correcto?

Agradezco cualquier ayuda que puedan darme  :)

La probabilidad \( P(CA| GA\cup GB) \) es la probabilidad de que la semilla elegida haya sido comprada al proveedor \( A \) sabiendo que ha germinado, ya que \( GA\cup GB \) son todas las semillas que germinan, entiendo que \( GA \) y \( GB \) se refiere a las semillas compradas que germinan, es decir que \( GA \subset CA \).

Tenemos que \( P(R \cup S)=P(R)+P(S)-P(R\cap S) \), y como \( GA \subset CA \) y \( GB\subset  CB \) y \( CA\cap CB=\emptyset  \) entonces también \( GA\cap GB=\emptyset  \), y por tanto efectivamente \( P(GA \cup GB)=P(GA)+P(GB) \). Con eso puedes resolverlo, ¿no? Pero fíjate que en mi interpretación \( P(GA)\neq 0.85 \) ya que el conjunto total de semillas de la que se toma la muestra es \( \Omega :=CA \cup CB=GA\cup NGA \cup GB\cup NGB  \) donde \( NGA \) y \( NGB \) son respectivamente las semillas de \( CA \) y \( CB \) que no germinan.

08 Julio, 2020, 08:43 am
Respuesta #2

geómetracat

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Es un ejercicio típico para aplicar el teorema de Bayes. El planteamiento que haces sería correcto si lo interpretas como dice Masacroso. Yo te ofrezco una manera alternativa de enfocar el problema.

El espacio muestral serían las semillas de la bolsa, y un evento simple se interpreta como "sacar una semilla de la bolsa". Entonces los sucesos de interés son:
\( G= \)"la semilla germina"
\( A= \)"la semilla es del proveedor A"
\( B= \)"la semilla es del proveedor B"

Entonces te preguntan por \( P(A\mid G) \), que usando Bayes lo puedes dejar en términos de los datos que conoces (te lo dejo a ti, si no te sale vuelve a preguntar).

Por otro lado, es fácil darse cuenta de que esto:
me queda \( P(GA \cup{GB}) \) y yo creo que esto es igual a \( P(GA) + P(GB)  \) (porque serian disjuntos...) ¿esto es correcto?
no puede estar bien si supones \( P(GA)=0.85 \) y \( p(GB)=0.75 \), porque \( P(GA)+P(GB)>1 \) con lo que tendrías \( P(GA \cup GB)>1 \) que es imposible.
Sí que está bien si interpretas \( GA,GB \) como dice Masacroso.

PD: Se me adelantó Masacroso. De todas formas como mi planteamiento es algo distinto dejo el mensaje con algunas modificaciones.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

10 Julio, 2020, 01:12 am
Respuesta #3

Jambo

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Con el planteo que geómetracat ha dado he llegado a la solución correcta, el problema es que no se me ocurría ese planteo  :'( , ¿tendría que haberme dado cuenta que mi planteo estaba mal porque \( P(GA)+P(GB)>1 \)?

Gracias a ambos por contestar  :)