Autor Tema: ¿Números inversos?

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07 Julio, 2020, 11:45 am
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Drakem

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Hola ¿Qué tal? me dicen Drakem y hago diseño 3D. Hace tiempo he estado aprendiendo a hacer texturas procedurales (2D), que para el que no lo sepa son texturas generadas matemáticamente, por lo que me he visto obligado a empezar a aprender conceptos de Matemática, en especial de Geometría, en lo cual no soy muy "ducho".

En fin... me he topado con el mismo problema por segunda vez y lo he intentado resolver por mí mismo, y como no he podido he ido a buscar ayuda en google, y como no he encontrado nada, decidí venir a buscar ayuda aquí. Tal vez el hecho de que no haya encontrado nada es porque no sé el nombre del problema o como llamarlo, por lo que yo le digo "números inversos" o tal vez podría ser "números espejos"?.
Yendo al grano, proseguiré explicando el problema; Imaginen que tengo 2 valores que van 0 al 10, cada uno tiene que ser opuesto de la siguiente manera: Si el primer valor (llamémoslo "A") vale 0, entonces "B" valdrá 10, pero si A pasa a valer 1, entonces B pasará a valer 9 y así sucesivamente quedando de esta manera:
*A = 0, B = 10
*A = 1, B = 9
*A = 2, B = 8
*A = 3, B = 7
*A = 4, B = 6
*A = 5, B = 5
*A = 6, B = 4
*A = 7, B = 3
*A = 8, B = 2
*A = 9, B = 1
*A = 10, B = 0

Ese es un ejemplo simple, pero también tiene que poder aplicarse con números decimales.
Lo que yo quiero saber es si hay una formula específica en el que yo introduzca la variable A y que siempre me de el resultado de B. Y ahora que lo pienso mientras escribo esto, seguramente la formula necesite un valor central, que en este caso sería 5.

Talvés esto sea muy sencillo y yo esté preguntando una tontería o talvés no, no lo sé, consecuencia de mis pocos conocimientos matemáticos. En cualquier caso agradezco enormemente su tiempo y desde ya !Gracias por la ayuda que me puedan brindar!  ;D

07 Julio, 2020, 12:04 pm
Respuesta #1

Drakem

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Perdón :'( jaja, pero al final me di cuenta yo sólo después de haberlo publicado, gracias al valor "central" del que me di cuenta mientras escribía el post. Intenté eliminar el post pero no pude.
El tercer valor lo llamaré desde ahora como "C" que en este caso es un valor fijo (5), pero si decidiera cambiar el rango de 0 al 20, pasaría a valer 10, osea que siempre es la mitad entre el valor mínimo de A y el valor máximo de B.

Y la formula es: (C-A) + C = B
Bueno es todo, perdón por el spam  :-[

07 Julio, 2020, 12:26 pm
Respuesta #2

martiniano

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Hola.

Lo que yo quiero saber es si hay una formula específica en el que yo introduzca la variable A y que siempre me de el resultado de B

¿Te sirve \( B=10-A \)?

07 Julio, 2020, 12:32 pm
Respuesta #3

Drakem

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Sí, de hecho es mucho más simplificada, pero sólo para mi caso que es del 0 al 10. Si no hubiera un límite, osea que si fuera desde \( {-}\infty  \) a \( {+}\infty \) no podría usar ese 10.
(igual me sirvió) Gracias  :)

07 Julio, 2020, 01:20 pm
Respuesta #4

geómetracat

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No pidas perdón y sobre todo no borres el hilo. Está muy bien que te hayas resuelto tú mismo la duda, pero también está bien que quede aquí el hilo para referencias futuras.

En efecto, como ya has dicho, si el valor central es \( C \), y el valor inicial es \( A \), la fórmula que buscas es \( B=C + (C-A) \).

Solamente me gustaría añadir, por si en el futuro quieres buscar cosas parecidas, que esto en términos geométricos se llama una reflexión respecto a un punto (el punto central). Seguramente si buscas reflexiones en google te saldrán reflexiones en el plano o en el espacio. Tu problema es el caso más sencillo posible, una reflexión en la recta real, pero es la misma idea que en el plano o en el espacio: buscas un punto que diste lo mismo que el original del punto central (y que esté en la recta que forman el punto original y el central, aunque aquí te da igual porque estás en una recta ya).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

07 Julio, 2020, 01:29 pm
Respuesta #5

feriva

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Y ahora que lo pienso mientras escribo esto, seguramente la formula necesite un valor central, que en este caso sería 5.


Efectivamente, tienes un valor central que es el 5.

Para pensarlo coloca los números en fila

\( 0,1,2,3,4,{\color{blue}5},6,7,8,9,10
  \)

Los extremos van sumando y, cuando llegas a 5, suma con sí mismo: 5+5=10.

En general te sirve hasta 10 o hasta cualquier par.

De hecho, esto que has pensado, muchos, lo descubrimos sin saber que ya existía, yo también; y el primero de ellos (que se sepa) fue uno de los matemáticos más importantes de la historia, Gauss; en esa idea se basa la fórmula de la progresión aritmética.

Saludos.


07 Julio, 2020, 02:02 pm
Respuesta #6

Drakem

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En general te sirve hasta 10 o hasta cualquier par.
De hecho no he tenido problema con números impares, ni con números negativos. Lo he estado probando bastante por las dudas.

Ejemplos:
\( B = C + (C - A) \)­
___
\( *C=0, A=-5 \)­
\( 5 = 0 + (0 - [-5]) \)­
___
\( *C=3, A=-0,5 \)­
\( 6,5 = 3 + (3 - [-0,5]) \)
Solamente me gustaría añadir, por si en el futuro quieres buscar cosas parecidas, que esto en términos geométricos se llama una reflexión respecto a un punto (el punto central). Seguramente si buscas reflexiones en google te saldrán reflexiones en el plano o en el espacio. Tu problema es el caso más sencillo posible, una reflexión en la recta real, pero es la misma idea que en el plano o en el espacio: buscas un punto que diste lo mismo que el original del punto central (y que esté en la recta que forman el punto original y el central, aunque aquí te da igual porque estás en una recta ya).
¡Muchas gracias! me sirve de mucho saber como se llama y como buscarlo  :D
____
Postdata: \( C=(A+B)/2 \)

07 Julio, 2020, 07:04 pm
Respuesta #7

feriva

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De hecho no he tenido problema con números impares, ni con números negativos. Lo he estado probando bastante por las dudas.

Ejemplos:
\( B = C + (C - A) \)­
___
\( *C=0, A=-5 \)­
\( 5 = 0 + (0 - [-5]) \)­
___
\( *C=3, A=-0,5 \)­
\( 6,5 = 3 + (3 - [-0,5]) \)

____
Postdata: \( C=(A+B)/2 \)

Ya, no quería decir que hubiera problema, sólo que si consideras un solo número central, entonces, sí tiene que ser par.

La cuestión es que con esa idea puedes encontrar una fórmula para saber la suma de todos; como hizo Gauss de niño:

\( 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
  \).

La suma es \( \dfrac{10(10+1)}{2}
  \); en general sería \( \dfrac{n(n+1)}{2}
  \) y se puede deducir en esa idea.

Si llamas “n” al par “10”, entonces, 5, el del centro, es \( \dfrac{n}{2}
  \).

Quitando el cinco del centro, queda una cantidad de \( \dfrac{n}{2}
  \) números (la mitad de 10) a cada lado; por tanto suman diez cinco veces, por parejas: \( \dfrac{10}{2}\cdot10=50
  \).

En general, para cualquier par, será \( \dfrac{n}{2}\cdot n=\dfrac{n^{2}}{2}
  \).

Ahora, para tener la suma completa de los “n” números, hay que sumarle el del centro que falta, \( \dfrac{n}{2}
  \):

\( \dfrac{n^{2}}{2}+\dfrac{n}{2}=\dfrac{n^{2}+n}{2}
  \); que sacando factor común “n” es esto mismo \( \dfrac{n(n+1)}{2}
  \), la fórmula de la progresión artimética.

Pero analizando un poco más, y de otra manera sólo un poco diferente, se ve que también sirve para cualquier “n” impar.

Ah, en cuanto a la pregunta que hacías; yo les he llamado siempre números simétricos.

Saludos.