Autor Tema: Conjunto infinito

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08 Julio, 2020, 12:46 pm
Respuesta #10

martiniano

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Hola.

Que no sea por soluciones: una sin primos.
Sea \( A_1 \) los impares, \( A_2 \) los múltiplos de \( 2 \) pero no de \( 4 \), \( A_3 \) los múltiplos de \( 4 \) pero no de \( 8 \), etc. En general, \( A_n \) es el conjunto de múltiplos de \( 2^{n-1} \) que no son múltiplos de \( 2^n \).

Sí, también funciona. De hecho, creo que algo así propuso manooooh.

...
Allí toman \( A_n=\{2^{n-1},(3)2^{n-1},(5)2^{n-1},(7)2^{n-1},\ldots\} \).

Esto es lo mismo que considerar \( A_1 \) los naturales cuya expresión en binario acaba en \( 1 \), \( A_2 \) los naturales cuya expresión en binario acaba en \( 10 \), y en general, \( A_n \) es el conjunto de naturales cuya expresión en binario acaba en \( 10\dots 0 \), donde hay \( n-1 \) ceros.

Interesante interpretación. Después de leerla a uno se le ocurren muchas otras soluciones extrapolándola a otras bases.

Saludos.

08 Julio, 2020, 12:51 pm
Respuesta #11

geómetracat

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Ah sí, es lo mismo de manooooh, se me pasó su mensaje.

De hecho lo pensé primero con la expansión binaria. En efecto, es fácil extrapolar la idea para encontrar muchas otras particiones distintas.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

08 Julio, 2020, 09:47 pm
Respuesta #12

Einsteindecasa

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Wow... literalmente volé, gracias; estoy revisando todas las soluciones; quisiera, algún día, llegar a tener ese potencial que cada uno demuestra en el foro.

Saludos,

Aunque, antes que me retiré. El mundo ha llegado a desarrollar tantas ideas que conformé uno aprende y aprende, nunca acaba de aprender. Es hermoso, te da un enorme deseo de seguir y seguir devorando libros y entendiendo teoremas.

09 Julio, 2020, 07:52 am
Respuesta #13

feriva

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estoy revisando todas las soluciones

Bueno, yo no he llegado a concretar realmente una respuesta, era algo así como un esbozo.
La idea de Geómetracat, con las bases, es muy original; la de Martiniano es muy corta y rápida de entender... Pero si tuvieras que dar una respuesta al ejercicio para clase, yo me quedaría sin duda con la de Luis (con todo el respeto y admiración por los demás) porque no sólo es corta, es instantánea de ver, no hay que hacer el más mínimo esfuerzo dado que es en sí misma el TFA. El teorema fundamental de la aritmética es lo que, directa o indirectamente, sustenta cualquier otra prueba, ya que, es casi una definición de lo que es un número entero; por sí mismo, como ha hecho ver Luis, ya lo demuestra (con alguna añadidura muy ligera que se sobreentiende y no haría falta ni decir). Y, sin embargo, a mí, por ejemplo, no se me ocurrió pensarlo.

Saludos.