Autor Tema: Probabilidad geométrica?

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07 Julio, 2020, 03:33 am
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Jambo

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Hola! Me podrian ayudar con el siguiente ejercicio?

Considerar al intervalo \( [-r,r] \) como la base de un semicírculo. Si se selecciona un punto al azar de este intervalo, de manera uniforme, calcular la probabilidad de que la longitud del segmento perpendicular desde el punto hasta el semicírculo sea menor que \( r/2 \)

Lo pensé con 1/4 de circulo donde la probabilidad sería \( P(A) =\dfrac{long(A)}{r} \) donde A seria el conjunto de puntos que cumplen la condición pedida y luego multiplicaría por 2, para obtener el resultado final. Para hallar a partir de donde se cumpliría dicha condición, pensé en la ecuación de la circunferencia y pedí que \( y = \dfrac{r}{2} \); luego despejé \( x \), que me quedó \( x=\dfrac{\sqrt[]{3}r}{2} \). Con el resultado anterior, saqué que la \( long(A) = r - \dfrac{\sqrt[]{3}r}{2}  \), por lo que \( P(A) =\dfrac{ r - \frac{\sqrt[]{3}r}{2}}{r} = 1 - \dfrac{\sqrt[ ]{3}}{2} \). Luego multipliqué por 2 el resultado, para obtener la probabilidad final, por lo tanto me quedó \( 2-\sqrt[ ]{3} \), pero no es la solución del ejercicio :'(

La solución del ejercicio es el resultado sin multiplicar por 2, es decir,  \( 1 - \dfrac{\sqrt[ ]{3}}{2} \), pero no entiendo por qué :(

Agradezco su ayuda de antemano

07 Julio, 2020, 03:45 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola! Me podrian ayudar con el siguiente ejercicio?

Considerar al intervalo \( [-r,r] \) como la base de un semicírculo. Si se selecciona un punto al azar de este intervalo, de manera uniforme, calcular la probabilidad de que la longitud del segmento perpendicular desde el punto hasta el semicírculo sea menor que \( r/2 \)

Lo pensé con 1/4 de circulo donde la probabilidad sería \( P(A) =\frac{long(A)}{r} \) donde A seria el conjunto de puntos que cumplen la condición pedida y luego multiplicaría por 2, para obtener el resultado final.

Si tomas la distribución uniforme en \( [0,r] \), que es lo que haces al dividir por \( r \) en vez de por \( 2r \), entonces no necesitas multiplicar por dos para obtener el resultado final, es decir, por simetría \( P(A) \) ya es el resultado final. Necesitarías multiplicar por dos si hubieses utilizado la densidad de la distribución uniforme en \( [-r,r] \), que es \( \frac1{2r} \).

Adjunto gráfico:

 


Tú quieres calcular \( \frac{l_1+l_2}{2r} \) y has calculado \( \frac{l_2}{r} \), que es lo mismo ya que \( l_1=l_2 \).

07 Julio, 2020, 04:43 am
Respuesta #2

Jambo

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Pensé que por simetría mismo debía multiplicar por 2  :-\

Gracias por la respuesta