Autor Tema: Prueba de hipótesis de una distribución Poisson

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06 Julio, 2020, 07:42 am
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razielcero

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Hola a todos!

Debo resolver el siguiente problema: Constrúyase una prueba aproximada con \(  \alpha = 0.10  \) para contrastar que la media de
una distribución Poisson es igual a 5, a partir de una muestra de tamaño \(  n=200  \). Constrúyase además la curva de potencia de la prueba.

Tengo la idea que puedo utilizar el hecho que la estadística \(  \displaystyle Z = \frac{X - \lambda}{\sqrt{\lambda}}  \) distribuye \(  N ~(0, 1) \) con n suficientemente grandes.... La primera inquietud que tengo es si con \(  n=200  \) ya puedo asumir esa aproximación o no??

Suponiendo que la puedo asumir, entonces seguí de esta forma:

\(
\displaystyle
P(Z_1 \leq Z \leq Z_2) = 1 - \alpha \\ \\

P\left( Z_1 \leq  \frac{X - \lambda}{\sqrt{\lambda}} \leq Z_2 \right) = 1 - \alpha \\

P(\lambda + Z_1 \sqrt{\lambda} \leq X \leq  \lambda - Z_2 \sqrt{\lambda}) = 1 - \alpha \\

\textrm{En este caso}\\
P(5 + 1.64 \sqrt{5} \leq X \leq 5 - 1.64 \sqrt{5} )
 \)

No sé si hasta ahí estoy haciendo bien las cosas... y en todo caso no sé cómo debo continuar  :-\

Gracias por cualquier comentario y orientación!

Saludos.

06 Julio, 2020, 08:21 am
Respuesta #1

geómetracat

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No puede estar bien porque \( \frac{X- \lambda}{\sqrt{\lambda}} \) no depende de \( n \), así que no vas a poder aplicar el teorema central del límite.

Lo que debes considerar no es \( X \) sino la media muestral \( \overline{X} \). Este estadístico tiene media \( E[X]= \lambda \) y varianza \( \frac{V(X)}{n}=\frac{\lambda}{n} \).
Por tanto, lo que te dice en teorema central del límite es que cuando \( n \to \infty \), \( Z = \frac{\overline{X}-\lambda}{\sqrt{\lambda}/\sqrt{n}} \) tiende a una \( N(0,1) \) en distribución.

Normalmente en estadística se considera que la aproximación es razonable si \( n>30 \), así que en tu caso ya es aplicable.

Ahora para hallar el test puedes razonar como lo hacías, esa parte esencialmente está bien (aunque has puesto los signos al revés). Debes imponer que el error de tipo I del test sea \( \alpha \). Es decir, que supuesta la hipótesis nula cierta (que \( \lambda = 5 \) se cumpla que
\( P(z_1 \leq Z \leq z_2) = 1-\alpha \)
Si desarrollas llegas a algo parecido lo que has puesto (con los signos cambiados):
\( P(5-1.64\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{200}} \leq \overline{X} \leq 5+ 1.64 \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{200}})=0.9 \)

Y ahora el test consiste en rechazar \( H_0 \) si \( \overline{X} \) está fuera de esa región, es decir, si:
\( \overline{X} < 5-1.64\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{200}}  \)  o \( \overline{X} > 5+1.64\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{200}}  \),
y no se rechaza \( H_0 \) si:
\( 5-1.64\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{200}} \leq \overline{X} \leq 5+ 1.64 \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{200}} \).

La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

06 Julio, 2020, 06:04 pm
Respuesta #2

razielcero

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Como siempre, muchas gracias geómetracat. Tu explicación es muy clara!

Una vez se ha llegado a la última expresión que escribiste, ahí terminaría esa parte del ejercicio, verdad? quiero decir que no se puede concluir nada dado que no hay ningún valor para \(  \bar{X}  \)..??

En cuanto a la construcción de la curva de potencia sería algo como:

\(
5-1.64\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{200}} = 4.74 \\
5+1.64\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{200}} = 5.26
 \)

Entonces:

\(
P(\lambda) = 1 - \left[ \left( \frac{5.26 - \lambda}{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{200}}} \right) - \left( \frac{4.74 - \lambda}{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{200}}} \right) \right]
 \)

Y ahí empezaría a darle valores a lambda para graficar??


06 Julio, 2020, 09:43 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Como siempre, muchas gracias geómetracat. Tu explicación es muy clara!

De nada, un placer.

Citar
Una vez se ha llegado a la última expresión que escribiste, ahí terminaría esa parte del ejercicio, verdad? quiero decir que no se puede concluir nada dado que no hay ningún valor para \(  \bar{X}  \)..??

Sí, has construido el test (encontrado la región crítica), que es lo que te pedían. Pero como no te dan ningunos datos no puedes aplicarlo a nada.

Citar
En cuanto a la construcción de la curva de potencia sería algo como:

\(
5-1.64\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{200}} = 4.74 \\
5+1.64\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{200}} = 5.26
 \)

Entonces:

\(
P(\lambda) = 1 - \left[ \left( \frac{5.26 - \lambda}{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{200}}} \right) - \left( \frac{4.74 - \lambda}{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{200}}} \right) \right]
 \)

Y ahí empezaría a darle valores a lambda para graficar??

La función potencia no está bien. \( P(\lambda) \) es la probabilidad de rechazar \( H_0 \) supuesto que el valor real del parámetro es \( \lambda \). Esto es:

\[ P(\lambda) = 1- P(4.74 \leq \overline{X} \leq 5.26) = 1 - P\left( \frac{4.74 - \lambda}{\sqrt{\lambda}/\sqrt{200}} \leq Z \leq \frac{5.26 - \lambda}{\sqrt{\lambda}/\sqrt{200}}\right) \]
donde \[ Z = \frac{\overline{X} - \lambda}{\sqrt{\lambda}/\sqrt{200}} \] tiene distribución (aproximada, en la medida en que vale la aproximación de \( n \) grande) \[ N(0,1) \].

Para calcular la función potencia con un ordenador, la puedes expresar como:

\[ P(\lambda) = 1 - \left( \Phi\left( \frac{5.26 - \lambda}{\sqrt{\lambda}/\sqrt{200}} \right) -\Phi\left( \frac{4.74 - \lambda}{\sqrt{\lambda}/\sqrt{200}} \right)\right) \]

donde \( \Phi \) es la función de distribución de una \( N(0,1) \).
Ahora que me fijo, quizás era esto lo que querías poner y te has dejado las \( \Phi \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)