Autor Tema: Dos monedas falsificadas de igual peso se mezclan con 8 monedas idénticas...

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06 Julio, 2020, 04:25 am
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Jambo

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Hola! Tengo el siguiente ejercicio:

Dos monedas falsificadas de igual peso se mezclan con 8 monedas idénticas auténticas. El peso de cada una de las monedas falsificadas es diferente del peso de cada una de las monedas auténticas. Se selecciona un par de monedas al azar sin reposición de las 10 monedas.
Luego se selecciona un segundo par al azar sin reposición de las 8 monedas restantes.

¿Cuál es la probabilidad de que las 4 monedas seleccionadas sean auténticas, dado que el peso combinado del primer par es igual al peso combinado del segundo par?

Lo que sé es que para que los pesos del primer par y del segundo par combinados sean iguales, tiene que pasar que elija 4 monedas auténticas, o que elija una auténtica y una falsa en cada par.

Lo intenté haciendo un "árbol" de probabilidades para poder usar Bayes, pero no llegué a la opción correcta (y no estoy segura si es la manera de encararlo...)

Agradezco cualquier ayuda que puedan darme :)

06 Julio, 2020, 07:23 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola! Tengo el siguiente ejercicio:

Dos monedas falsificadas de igual peso se mezclan con 8 monedas idénticas auténticas. El peso de cada una de las monedas falsificadas es diferente del peso de cada una de las monedas auténticas. Se selecciona un par de monedas al azar sin reposición de las 10 monedas.
Luego se selecciona un segundo par al azar sin reposición de las 8 monedas restantes.

¿Cuál es la probabilidad de que las 4 monedas seleccionadas sean auténticas, dado que el peso combinado del primer par es igual al peso combinado del segundo par?

Lo que sé es que para que los pesos del primer par y del segundo par combinados sean iguales, tiene que pasar que elija 4 monedas auténticas, o que elija una auténtica y una falsa en cada par.

Lo intenté haciendo un "árbol" de probabilidades para poder usar Bayes, pero no llegué a la opción correcta (y no estoy segura si es la manera de encararlo...)

Agradezco cualquier ayuda que puedan darme :)

Definimos los eventos \( A\equiv \text{las 4 monedas son verdaderas} \) y \( B\equiv \text{el peso de los dos pares es igual} \) y te piden calcular \( P(A| B) \), que es igual a calcular \( \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \), de la definición de probabilidad condicional.

Observa que \( P(A \cap B)=P(A) \), ya que si las monedas son verdaderas entonces pesan los dos pares igual, es decir que \( A \subset B \), un evento contiene al otro. Por tanto para hallar \( P(A| B) \) tienes que calcular \( P(B) \) y \( P(A) \).

Ahora bien, \( P(B) \) es la probabilidad de sacar las monedas como alguna de las secuencias \( VFVF,\, VF FV,\, FVVF,\, FVFV,\, VVVV \), donde \( V\equiv \text{ auténtica } \) y \( F\equiv \text{ falsa } \). Por ejemplo la probabilidad de sacar la secuencia \( VFVF \) sería \( p=\frac{8}{10}\cdot \frac{2}{9}\cdot \frac{7}{8}\cdot\frac{1}{7} \), y en total tendrías que \( P(B)=4p+P(A) \) ya que la probabilidad \( P(A) \) es la probabilidad de sacar la secuencia \( VVVV \) y la probabilidad de cada una de las secuencias \( VFVF,\, VF FV,\, FVVF,\, FVFV \) es igual a \( p \), como puedes comprobar. De ahí ya tienes todos los datos necesarios para calcular la probabilidad buscada, sólo te queda calcular \( P(A) \).

07 Julio, 2020, 04:36 am
Respuesta #2

Jambo

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