[YeffGC]

En estos dos ejercicios no he tenido alguna idea como realizarlo alli mismo  explico lo que he intentado

1) se \(  W \) el subespacio \(  \left\lbrace (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid 3x+2y-z=0\right\rbrace   \) hallar una aplicación lineal de \(  \mathbb{R}^3 \) a si mismo tal que la imagen de W por f sea el sub espacio W' generado por los vectores \( (1,0,2),(2,1,2)  \)

En el anterior intente sustituir los vectores dados pero no resulto


2)Hallar la aplicación lineal f de \(  \mathbb{R}^3 \) asi mismo que tenga como nucleo el espacio generado por \( (1,0,2)   \) y por imagen el sub espacio generado por \(  (1,2,-1);(2,1,1) \)

[Masacroso]

En estos dos ejercicios no he tenido alguna idea como realizarlo alli mismo  explico lo que he intentado

1) se \(  W \) el subespacio \(  \left\lbrace (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid 3x+2y-z=0\right\rbrace   \) hallar una aplicación lineal de \(  \mathbb{R}^3 \) a si mismo tal que la imagen de W por f sea el sub espacio W' generado por los vectores \( (1,0,2),(2,1,2)  \)

En el anterior intente sustituir los vectores dados pero no resulto

Hallas una base vectorial cualquiera de \( W \), al ser \( \dim W=2 \) entonces la base constará de dos vectores \( v_1 \) y \( v_2 \), y completas esa base a una base de \( \mathbb{R}^{3} \) añadiendo un vector \( v_3 \) cualquiera que sea linealmente independiente de los otros dos.

Si defines \( w_1:=(1,0,2) \), \( w_2:=(2,1,2) \) y \( w_3:=(0,0,0) \) entonces puedes definir una función lineal \( T \) con las ecuaciones \( Tv_k=w_k \) para \( k=1,2,3 \), donde la imagen de \( T \) es \( W' \) y donde también se cumple que \( TW=W' \).

2)Hallar la aplicación lineal f de \(  \mathbb{R}^3 \) asi mismo que tenga como nucleo el espacio generado por \( (1,0,2)   \) y por imagen el sub espacio generado por \(  (1,2,-1);(2,1,1) \)

En este caso tomamos \( v_1:=(1,0,2) \) y añadimos dos vectores más \( v_2,v_3 \) que hagan que \( v_1,v_2,v_3 \) formen una base vectorial de \( \mathbb{R}^3 \), y tomamos \( w_1:=(0,0,0),\, w_2:=(1,2,-1) \) y \( w_3:=(2,1,1) \), entonces la función lineal \( T \) definida por las ecuaciones \( Tv_k=w_k \) para \( k=1,2,3 \) tiene las propiedades deseadas.

[feriva]

En el primero:

Si hallas las paramétricas, dos representantes de los vectores de W pueden ser (1,0,3); (0,1,2).

Entiendo que se trata de encontrar la matriz que transforma estos vectores en los que te dan; es resolver un sistema.

En el otro, más o menos parecido. El vector del núcleo multiplicado por la matriz de f tiene que dar el vector cero; los otros vectores (incógnitos) que faltan tiene que dar, al multiplicar, los otros dos vectores, los de la imagen.

En principio tienes una matriz así

\( \left(\begin{array}{ccc}
a & b & c\\
d & e & f\\
g & h & j
\end{array}\right)
  \)

donde no conoces las letras.

Si multiplicas por el vector del núcleo, por ejemplo; tienes esta igualdad

\( \left(\begin{array}{ccc}
a & b & c\\
d & e & f\\
g & h & j
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right)
  \)

De donde

\( \begin{array}{c}
a+2c=0\\
d+2f=0\\
g+2j=0
\end{array}
  \)

y de ahí te quedas con menos incógnitas.

Luego, haces lo mismo con los otros vectores hasta que tengas los valores de a,b,c,d,e,f,g,h,j; y ya tienes la matriz de la aplicación.

Saludos.

Ya había contestado Masacroso; no lo he visto