Autor Tema: UTF3 por absurdo

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04 Julio, 2020, 05:15 pm
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Fernando Moreno

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Hola,

Supongamos que  \( x^3+y^3+z^3=0 \) ,  para  \( x,y,z \)  enteros y coprimos entre sí. 

Si  \( 3 \)  no divide á  \( x,y,z \) ,  entonces  \( x^3+y^3+z^3\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) .  Porque  \( (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^3=\{0,1,-1\} \) .  De esta manera, establezcamos que  \( 3 \)  divide á  \( x \) . 

Luego:  \( -z^3=x^3+y^3=(x+y)((x+y)^2-3xy) \) .  Los dos factores de la derecha son coprimos salvo por  \( 3 \) ,  si  \( 3 \)  divide á  \( x+y \)  -y-, por tanto, á  \( z \) .  Pero no es el caso. Además  \( (x+y)^2-3xy=(x+y\omega)(x+y\omega^2) \) ,  para  \( \omega=(-1+\sqrt{-3})/2 \) ,  la raíz primitiva tercera de la unidad. Y :  \( x+y\omega\,\,,\,\,x+y\omega^2 \)  son coprimos, porque su suma es  \( 2x+y\omega(1+\omega) \)  y su diferencia  \( y\omega(1-\omega) \) ;  siendo  \( \omega \)  -y-  \( \omega+1 \)  unidades en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) .  Y:  \( 1-\omega \)  es el asociado de un primo que divide á  \( 3=-\omega^2(\omega-1)^2 \)  -y- que, por tanto, divide á  \( x \) .  En conclusión, para  \( -z^3=(x+y)(x+y\omega)(x+y\omega^2) \) ,  tenemos que estos 3 factores son coprimos entre sí y por tanto terceras potencias en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) .  Tales que:  \( -z^3=\epsilon_1(a_1+b_1\omega)^3\epsilon_2(a_2+b_2\omega)^3\epsilon_3(a_3+b_3\omega)^3 \) ,  para  \( \epsilon_1(a_1+b_1\omega)^3=x+y \)  ,  \( \epsilon_2(a_2+b_2\omega)^3=x+y\omega \)  -y-  \( \epsilon_3(a_3+b_3\omega)^3=x+y\omega^2 \) .  Siendo cada pareja  \( a_i,b_i \)  de números enteros y coprimos entre sí -y-  \( \epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3 \)  unidades de  \( \mathbb{Z}(\omega) \) .  Las unidades en  \( \mathbb{Z}(\omega) \)  son:  \( \pm 1\,\,,\,\,\pm\omega \)  -y-  \( \pm\omega^2 \) ,  para  \( \omega^3=1 \) .         

(1)  Analicemos:  \( \epsilon_1(a_1+b_1\omega)^3=x+y \) .  Tenemos por una parte que  \( (a_1+b_1\omega)^3=a_1^3+3a_1^2b_1\omega+3a_1b_1^2\omega^2+b_1^3\omega^3\,=\,a_1^3+b_1^3-3a_1b_1^2+3a_1b_1(a_1-b_1)\omega \) .     

Para  \( \epsilon_1=\pm 1 \) ,  tendremos pues  \( \pm (a_1^3+b_1^3-3a_1b_1^2+3a_1b_1(a_1-b_1)\omega)=x+y \) .  Como  \( x+y \)  representa a un entero usual, no puede ser igual a ningún término  \( \omega \)  a la izquierda de la ecuación. Por tanto  \( a_1-b_1=0 \)  -ó-  \( b_1-a_1=0 \)  \( \Rightarrow \)  \( a_1=b_1 \)  -y-  \( \pm (a_1+b_1\omega)^3=(\pm a_1)^3 \)    -ó-  \( (\pm b_1)^3 \) .

Para  \( \epsilon_1=\pm\omega \) ,  tenemos  \( \pm\omega(a_1+b_1\omega)^3=x+y \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm(a_1+b_1\omega)^3=x\omega^2+y\omega^2 \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm(a_1+b_1\omega)^3=-x-y-(x+y)\omega \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_1^3+b_1^3-3a_1b_1^2+3a_1b_1(a_1-b_1)\omega)=-x-y-(x+y)\omega \) .  Pero en este caso, al agrupar por coeficientes,  \( 3 \)  dividiría á  \( x+y \) ,  lo que no es posible porque  \( 3 \)  divide á  \( x \)  -y- ésta es coprimo con  \( y \) .

Para  \( \epsilon_1=\pm\omega^2 \) ,  tenemos  \( \pm\omega^2(a_1+b_1\omega)^3=x+y \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm(a_1+b_1\omega)^3=x\omega+y\omega \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm(a_1^3+b_1^3-3a_1b_1^2+3a_1b_1(a_1-b_1)\omega)=(x+y)\omega \) .  Pero por lo mismo que antes,  \( 3 \)  dividiría á  \( x+y \) .  Luego tenemos que concluir que  \( \epsilon_1 \)  sólo puede ser  \( \pm 1 \) .

(2)  Analicemos:  \( \epsilon_2(a_2+b_2\omega)^3=x+y\omega \) . 

Para  \( \epsilon_2=\pm 1 \) ,  tenemos  \( \pm(a_2+b_2\omega)^3=x+y\omega \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_2^3+b_2^3-3a_2b_2^2+3a_2b_2(a_2-b_2)\omega)=x+y\omega \) .  Pero entonces  \( 3 \)  dividiría á  \( y \) ,  lo que sabemos que no es. 

Para  \( \epsilon_2=\pm\omega \) ,  tenemos  \( \pm\omega(a_2+b_2\omega)^3=x+y\omega \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_2+b_2\omega)^3=x\omega^2+y\omega^3 \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_2+b_2\omega)^3=y-x-x\omega \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_2^3+b_2^3-3a_2b_2^2+3a_2b_2(a_2-b_2)\omega)=y-x-x\omega \) .  Lo que sí es coherente porque  \( 3 \)  divide á  \( x \) .   

Para  \( \epsilon_3=\pm\omega^2 \) ,  tenemos  \( \pm\omega^2(a_2+b_2\omega)^3=x+y\omega \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_2+b_2\omega)^3=x\omega+y\omega^2 \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_2+b_2\omega)^3=-y+(x-y)\omega \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_2^3+b_2^3-3a_2b_2^2+3a_2b_2(a_2-b_2)\omega)=-y+(x-y)\omega \) .  Lo que no puede ser porque  \( 3 \)  no divide á  \( x-y \) .  Luego está claro que  \( \epsilon_2=\pm\omega \) .   

(3)  Analicemos:  \( \epsilon_3(a_3+b_3\omega)^3=x+y\omega^2 \) . 

Para  \( \epsilon_3=\pm 1 \) ,  tenemos  \( \pm (a_3+b_3\omega)^3=x+y\omega^2 \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_3+b_3\omega)^3=x-y-y\omega \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_3^3+b_3^3-3a_3b_3^2+3a_3b_3(a_3-b_3)\omega)=x-y-y\omega \) .  Pero entonces  \( 3 \)  dividiría á  \( y \) ,  lo que sabemos que no es. 

Para  \( \epsilon_3=\pm\omega \) ,  tenemos  \( \pm\omega(a_3+b_3\omega)^3=x+y\omega^2 \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_3+b_3\omega)^3=x\omega^2+y\omega^4 \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_3+b_3\omega)^3=-x+(y-x)\omega \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_3^3+b_3^3-3a_3b_3^2+3a_3b_3(a_3-b_3)\omega)=-x+(y-x)\omega \) .  Pero no puede ser porque  \( 3 \)  no divide á  \( y-x \) .   

Para  \( \epsilon_3=\pm\omega^2 \) ,  tenemos  \( \pm\omega^2(a_3+b_3\omega)^3=x+y\omega^2 \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_3+b_3\omega)^3=x\omega+y\omega^3 \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_3+b_3\omega)^3=y+x\omega \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_3^3+b_3^3-3a_3b_3^2+3a_3b_3(a_3-b_3)\omega)=y+x\omega \) .  Lo que sí es posible porque  \( 3 \)  divide á  \( x \) . De esta manera:  \( \epsilon_3=\pm\omega^2 \) .   

Tenemos pues que  \( -z^3=(x+y)(x+y\omega)(x+y\omega^2)\,=\,\pm\omega\cdot\omega^2\cdot a_1^3\cdot (a_2+b_2\omega)^3 \cdot (a_3+b_3\omega)^3 \) .  Y :  \( -z=\pm a_1(a_2+b_2\omega)(a_3+b_3\omega)\,=\,\pm a_1(a_2a_3+a_2b_3\omega^2+b_2a_3\omega+b_2b_3\omega^3) \)   \( \Rightarrow \)   \( -z=\pm a_1(a_2a_3+b_2b_3-a_2b_3+(b_2a_3-a_2b_3)\omega) \) .  Por tanto, para que la igualdad tenga sentido y no haya términos  \( \omega \)  a la derecha:  \( b_2a_3-a_2b_3=0 \)  -ó-  \( a_2b_3-b_2a_3=0 \)  -y-  \( a_2b_3=b_2a_3 \) .  Pero como  \( a_2 \)  es coprimo con  \( b_2 \)  -y-  \( b_3 \)  es coprimo con  \( a_3 \) ;  entonces no queda otra que  \( a_2=a_3 \)  -y- que  \( b_2=b_3 \) .     

Así, como por (2) y por (3) tenemos, por una parte, que  \( \pm (a_2+b_2\omega)^3=y-x-x\omega \) .  Y por otra, que  \( \pm (a_3+b_3\omega)^3=y+x\omega \) .  Ahora ocurrirá que:  \( \pm (y-x-x\omega)=\pm(y+x\omega) \) . 

Y si fuera  \( y-x-x\omega=y+x\omega \)  -ó-  \( -(y-x-x\omega)=-(y+x\omega) \) ;  tendríamos  \( 2\omega=-1 \) .  Lo que es absurdo. En cambio, si fuera  \( -(y-x-x\omega)=y+x\omega \)  -ó-  \( y-x-x\omega=-(y+x\omega) \) ;  tendríamos que  \( x=2y \) .  Otro sinsentido. 
 
Luego debemos concluir que para que no se dé  \( a_2b_3=b_2a_3 \) ,  entonces  \( z \)  debe ser de una forma  \( c+d\omega \) ,  para  \( c,d \)  enteros, de manera que la igualdad  \( -z=\pm a_1(a_2a_3+b_2b_3-a_2b_3+(b_2a_3-a_2b_3)\omega) \)  tenga sentido sin tener que anular la componente  \( \omega \)  de la derecha. Pero entonces  \( z \)  no puede ser racional.


Un saludo,   

He editado unos cuantos errores más que había en los subíndices (ver siguientes respuestas)
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04 Julio, 2020, 10:52 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Tenemos pues que  \( -z^3=(x+y)(x+y\omega)(x+y\omega^2)\,=\,\pm\omega\cdot\omega^2\cdot a_1^3\cdot (a_2+b_2\omega)^3 \cdot (a_3+b_3\omega)^3 \) .  Y :  \( -z=\pm a_1(a_2+b_2\omega)(a_3+b_3\omega)\,=\,\pm a_1(a_2a_3+a_2b_3\omega^2+b_2a_3\omega+b_2b_3\omega^3) \)   \( \Rightarrow \)  \( -z=\pm a_1(a_2a_3+b_2b_3-a_2b_3+(b_2a_3-a_2b_3)\omega) \) .  Por tanto, para que la igualdad tenga sentido y no haya términos  \( \omega \)  a la derecha:  \( b_2a_3-a_2b_3=0 \)  -ó-  \( a_2b_3-b_2a_3=0 \)  -y-  \( a_2b_3=b_2a_3 \) .  Pero como  \( a_2 \)  es coprimo con  \( b_2 \)  -y-  \( b_3 \)  es coprimo con  \( a_3 \) ;  entonces no queda otra que  \( a_2=a_3 \)  -y- que  \( b_2=b_3 \) .     

Ahí no sería:

\( -z=\pm a_1(a_2+b_2\omega)(a_3+b_3\omega)\,=\,\pm a_1(a_2a_3+\color{red}a_2b_3\omega\color{black}+b_2a_3\omega+\color{red}b_2b_3\omega^2\color{black}) \)   \( \Rightarrow \) 

Saludos.

04 Julio, 2020, 11:30 pm
Respuesta #2

Fernando Moreno

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Hola Luis, gracias por revisarlo.

Ahí no sería:

\( -z=\pm a_1(a_2+b_2\omega)(a_3+b_3\omega)\,=\,\pm a_1(a_2a_3+\color{red}a_2b_3\omega\color{black}+b_2a_3\omega+\color{red}b_2b_3\omega^2\color{black}) \)   \( \Rightarrow \) 

¡Vaya error tonto! No repasé esa línea tan fácil, la di por hecha. Bueno mañana veo con tranquilidad qué puedo salvar o rehacer. Un saludo
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05 Julio, 2020, 01:47 pm
Respuesta #3

Fernando Moreno

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Hola, comparto con vosotros hasta donde yo he llegado.

Partimos de  \( -z=\pm a_1(a_2+b_2\omega)(a_3+b_3\omega) \)

Luego  \( -z=\pm a_1(a_2a_3+a_2b_3\omega+a_3b_2\omega+b_2b_3\omega^2) \)   \( \Rightarrow \)   \( -z=\pm a_1(a_2a_3-b_2b_3+(a_2b_3+a_3b_2-b_2b_3)\omega \) .

Por lo tanto:  \( a_2b_3+a_3b_2-b_2b_3=0 \)  -y-  \( a_2b_3+a_3b_2=b_2b_3 \)

Si divido la ecuación resultante entre  \( b_2 \) ,  tendré  \( \dfrac{a_2b_3}{b_2}+a_3=b_3 \) .  Luego  \( b_2\mid b_3 \) .  Si divido ahora entre  \( b_3 \) ,  tendré  \( a_2+\dfrac{a_3b_2}{b_3}=b_2 \) .  Luego  \( b_3\mid b_2 \)  -y- por tanto:  \( b_2=b_3 \) .

De esta forma  \( a_2b_3+a_3b_2=b_2b_3 \)   \( \Rightarrow \)   \( a_2b_3+a_3b_3=b_3^2 \) .  Y :  \( a_2+a_3=b_2,b_3 \) .

Supongamos que  \( 3 \)  no divide á  \( b_2,b_3 \) ,  entonces  \( a_2-a_3\equiv{0} \)  mod \( 3 \) .  Pero nosotros partimos de que  \( \epsilon_2(a_2+b_2\omega)^3\ \)  -y-  \( \epsilon_3(a_3+b_3\omega^2)^3 \)  eran coprimos. Luego lo serán  \( a_2+b_2\omega \)  -y-  \( a_3+b_3\omega \) .  Y su suma es:  \( a_2+b_2\omega+a_3+b_3\omega\,=\,b_3+b_3\omega+b_3\omega\,=\,b_3(1+2\omega) \) .  Y su diferencia:  \( a_2+b_2\omega-a_3-b_3\omega\,=\,a_2-a_3+\omega(b_2-b_3)\,=\,a_2-a_3 \) .  Pero como  \( 3 \)  divide á  \( a_2-a_3 \) .  No sería coprimo con  \( b_3(1+2\omega) \) ,  porque  \( 1+2\omega \)  divide á  \( 3 \) ,  como es fácil comprobar (su norma es  \( 3 \)). Luego tenemos que concluir que  \( 3 \)  divide á  \( b_2,b_3 \).

Entonces, como por ejemplo por  (2)  tenemos que  \( \pm (a_2^3+b_2^3-3a_2b_2^2+3a_2b_2(a_2-b_2)\omega)=y-x-x\omega \) .  Módulo  \( 9 \) :  \( \pm a_2^3\equiv{y-(3,6)-(3,6)\omega} \) .  Pero como ése  \( \omega \)  de la derecha no puede ser porque  \( \pm a_2^3 \)  es un número entero, concluimos que  \( 9 \)  debe dividir á  \( x \) .

Y hasta aquí llegué. Lo de que  \( 9 \)  debe dividir á  \( x \)  me ha salido muchas veces en otros borradores, así que no es una gran novedad y no sirve para llegar a ninguna contradicción. No obstante ahí os dejo algo de munición por si alguien quiere entretenerse en tirar al plato. Pero vamos que el ****** plato no se rompe con eso jajaja

Un saludo
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