Hola
Hola no se como comenzar este tipo de problemas; tal vez sea inmediato pero no encuentro ningún ejemplo para poder hacerlo
Halla el núcleo de las siguientes aplicaciones lineales
a) \( f: \mathbb{R}_{\leq{5}}\left[ X\right] \rightarrow{ \mathbb{R}_{\leq{5}}\left[ X\right]} \) definida por la derivada \( (p(X))=p^{\prime}(X) \)
El núcelo son los vectores (polinomios en este caso) cuya imagen es cero. La imagen de un polinomio es su derivada y los polinomios con derivada nula son los constantes (generados por el polinomio uno):
\( ker(f)=\{p(x)\in \mathbb{R}_{\leq{5}}|f(p(x))=0\}=\{p(x)\in \mathbb{R}_{\leq{5}}|p'(x)=0\}=\{p(x)\in \mathbb{R}_{\leq{5}}|p(x)=a,\,a\in \Bbb R\}=\langle 1\rangle \)
b) Sea \( W \) el subespacio vectorial de \( \mathbb{R} ^ 4 \) dado por \( W = \left\{{ (x,0,z,0 \mid x,y \in \mathbb{R} }\right\} \) Encontrar una aplicación lineal \( f: \mathbb{R} ^ 4 \to \mathbb{R} ^ 4 \) tal que img \( f = W \), y una aplicación lineal \( g: \mathbb{R} ^ 4 \to \mathbb{R} ^ 4 \) tal que \( \ker g = W. \)
Una aplicación lineal queda determinada si conocemos la imagen de una base del espacio de partida. Además una base de \( W \) es \( \{(1,0,0,0),(0,0,1,0)\} \).
Entonces para que \( im(f)=W \) basta definir:
\( f(1,0,0,0)=(1,0,0,0) \)
\( f(0,1,0,0)=(0,0,1,0) \)
con eso ya conseguimos el objetivo y completamos:
\( f(0,0,1,0)=(0,0,0,0) \)
\( f(0,0,0,1)=(0,0,0,0) \)
hemos dado las imágenes de los vectores de la base canónica y por eso la aplicación está completamente definida.
Intenta algo parecido para \( g \). Tu objetivo es que \( ker(g)=W \), es decir, que los vectores de \( W \) sean exactamente los que van al cero.
Saludos.
