Autor Tema: Núcleo de una aplicacin lineal

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04 Julio, 2020, 05:43 am
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YeffGC

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Hola no se como comenzar este tipo de problemas; tal vez sea inmediato pero  no encuentro ningún ejemplo para poder hacerlo

Halla el núcleo de las siguientes aplicaciones lineales

a) \(   f: \mathbb{R}_{\leq{5}}\left[ X\right] \rightarrow{ \mathbb{R}_{\leq{5}}\left[ X\right]} \)  definida por la derivada \(  (p(X))=p^{\prime}(X)  \)

b) Sea \(  W  \) el subespacio vectorial de \(  \mathbb{R} ^ 4  \) dado por \(  W = \left\{{  (x,0,z,0 \mid x,y \in \mathbb{R}  }\right\} \) Encontrar una aplicación lineal \( f: \mathbb{R} ^ 4 \to \mathbb{R} ^ 4  \) tal que img \( f = W  \), y una aplicación lineal \(  g: \mathbb{R} ^ 4 \to \mathbb{R} ^ 4  \) tal que \(  \ker g = W.  \)

04 Julio, 2020, 08:25 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola no se como comenzar este tipo de problemas; tal vez sea inmediato pero  no encuentro ningún ejemplo para poder hacerlo

Halla el núcleo de las siguientes aplicaciones lineales

a) \(   f: \mathbb{R}_{\leq{5}}\left[ X\right] \rightarrow{ \mathbb{R}_{\leq{5}}\left[ X\right]} \)  definida por la derivada \(  (p(X))=p^{\prime}(X)  \)

El núcelo son los vectores (polinomios en este caso) cuya imagen es cero. La imagen de un polinomio es su derivada y los polinomios con derivada nula son los constantes (generados por el polinomio uno):

\( ker(f)=\{p(x)\in \mathbb{R}_{\leq{5}}|f(p(x))=0\}=\{p(x)\in \mathbb{R}_{\leq{5}}|p'(x)=0\}=\{p(x)\in \mathbb{R}_{\leq{5}}|p(x)=a,\,a\in \Bbb R\}=\langle 1\rangle \)

Citar
b) Sea \(  W  \) el subespacio vectorial de \(  \mathbb{R} ^ 4  \) dado por \(  W = \left\{{  (x,0,z,0 \mid x,y \in \mathbb{R}  }\right\} \) Encontrar una aplicación lineal \( f: \mathbb{R} ^ 4 \to \mathbb{R} ^ 4  \) tal que img \( f = W  \), y una aplicación lineal \(  g: \mathbb{R} ^ 4 \to \mathbb{R} ^ 4  \) tal que \(  \ker g = W.  \)

Una aplicación lineal queda determinada si conocemos la imagen de una base del espacio de partida. Además una base de \( W \) es \( \{(1,0,0,0),(0,0,1,0)\} \).

Entonces para que \( im(f)=W \) basta definir:

\( f(1,0,0,0)=(1,0,0,0) \)
\( f(0,1,0,0)=(0,0,1,0) \)

con eso ya conseguimos el objetivo y completamos:

\( f(0,0,1,0)=(0,0,0,0) \)
\( f(0,0,0,1)=(0,0,0,0) \)

hemos dado las imágenes de los vectores de la base canónica y por eso la aplicación está completamente definida.

Intenta algo parecido para \( g \). Tu objetivo es que \( ker(g)=W \), es decir, que los vectores de \( W \) sean exactamente los que van al cero.

Saludos.