Autor Tema: Divisibilidad de polinomios relativos

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06 Julio, 2020, 12:38 am
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JoanL

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Hola a todos y todas.
Tengo el siguiente ejercicio:
\( \textrm{Sean los polinomios }p,q,h\in{}\mathbb{F[x]}\textrm{. Demuestre que si }p \textrm{ y }q \textrm{ son primos relativos y } q\mid ph \textrm{ entonces }q\mid h \).
Quedé atrapado e un dilema: ¿si \( mcd(p,q)=1 \) entonces ambos son polinomios irreducibles? Porque si esto es cierto, entonces puedo usar un teorema que se deduce de la definición de polinomio irreducible. En caso de que no sea cierto, no sé que hacer.
Les agradezco mucho su ayuda.
Saludos.

06 Julio, 2020, 08:27 am
Respuesta #1

geómetracat

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¿si \( mcd(p,q)=1 \) entonces ambos son polinomios irreducibles?
No. Por ejemplo, \( p(x)=x(x-1) \) y \( q(x)=(x-2)(x-3) \) son coprimos (porque no tienen factores comunes) pero ninguno es irreducible.

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En caso de que no sea cierto, no sé que hacer.

Se demuestra igual que el teorema análogo para enteros. Por la identidad de Bezóut tienes que existen polinomios \( r,s \) tales que \( pr+qs=1 \). Multiplicando por \( h \) tienes que \( prh+qsh=h \). Como \( q \mid ph \), \( q \) divide a los dos sumandos del lado izquierdo y por tanto también a \( h \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)