Autor Tema: Igualdad de polinomios tomando elementos de un cuerpo finito

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04 Julio, 2020, 02:35 am
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JoanL

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Hola a todos y todas.
Tengo el siguiente ejercicio.
\( \textrm{Sean }p,q\in{}\mathbb{F}[x]\textrm{ tales que } p(a)=q(a) \textrm{ para todo }a\in{}\mathbb{F} \textrm{. ¿Se puede decir que los polinomios son iguales?} \)
Como no especifica si el cuerpo debe ser finito o no, entonces supuse que debo buscar un contraejemplo. Propuse el siguiente:
\( \textrm{Sean } p,q \in{} \mathbb{Z_5}, \textrm{ donde } p(x)=x^5-x+1 \textrm{ y } q(x)=2x^5-2x+1. \textrm{ Reemplazando a x con todos los valores de } \mathbb{Z_5} \textrm{ vemos que }\\ f(x)=g(x). \textrm{Sin embargo, }p\neq q \)
¿Eso serviría como contraejemplo o hay alguna inconsistencia?
Les agradecería mucho su ayuda.
Saludos.

04 Julio, 2020, 08:45 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
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Hola

Hola a todos y todas.
Tengo el siguiente ejercicio.
\( \textrm{Sean }p,q\in{}\mathbb{F}[x]\textrm{ tales que } p(a)=q(a) \textrm{ para todo }a\in{}\mathbb{F} \textrm{. ¿Se puede decir que los polinomios son iguales?} \)
Como no especifica si el cuerpo debe ser finito o no, entonces supuse que debo buscar un contraejemplo. Propuse el siguiente:
\( \textrm{Sean } p,q \in{} \mathbb{Z_5}, \textrm{ donde } p(x)=x^5-x+1 \textrm{ y } q(x)=2x^5-2x+1. \textrm{ Reemplazando a x con todos los valores de } \mathbb{Z_5} \textrm{ vemos que }\\ f(x)=g(x). \textrm{Sin embargo, }p\neq q \)
¿Eso serviría como contraejemplo o hay alguna inconsistencia?
Les agradecería mucho su ayuda.

Está bien.

Un ejemplo más sencillo es en \( \Bbb Z_2[x ] \), \( p(x)=x^2-x \) y \( q(x)=0 \), o en general para \( p \) primo, en \( \Bbb Z_p[x ] \), \( p(x)=x^p-x \) y \( q(x)=0 \)

Saludos.