[alucard]

Hola una consulta con este ejercicio , tengo que analizar los extremos de la siguiente función

\( f(x,y)=x^2+xy+y^2 \) en la region  \( R: x^2+y^2\leq{4}\quad x\leq{0} \)

Dibujando la region obtengo que los posibles extremos están en el interior, frontera y vértices

En el interior igualo, las derivadas parciales de f a 0 y con el criterio de le hessiano obtuve que A(0,0) es minimo

En la frontera \( R_1: x^2+y^2=4 \quad x\leq{0} \)

Utilizando Lagrange obtengo los puntos \( y=x\quad y=-x \) con

\( y=x \) obtengo el punto \( B(-\sqrt 2,-\sqrt 2) \) con

\( y=-x \) obtengo el punto \( C(-\sqrt 2,\sqrt 2) \)

En la frontera \( R_2: x^2+y^2\leq{4}\quad x=0 \)

Parametrizando como \( g(y)=(0,y) \) obtengo el punto \( D(0,0)=A \) también mínimo

La duda la tengo en los vértices \( R_3: x^2+y^2=4 \quad x=0 \)

Los puntos que obtengo son \( E(0,2)\quad F(0,-2) \)

pero en esos puntos \( f(0,2)=f(0,-2)=4 \) no sé como determinar si eso es un máximo relativo o mínimo dado que

\( f(A)=f(D)=0\quad \textrm{min  abs}\\\quad f(B)=6\quad \textrm{max abs}\\f(C)=2\quad \textrm{min rel} \\\quad f(D)=f(E)=4\quad ??? \)

[delmar]

Hola

Solamente para hacer algunas precisiones, la región \( R \) es un semicírculo, la parte izquierda del círculo de radio 2, con centro en el origen. En esas circunstancias el origen A es un punto de frontera, no un punto interior de la región \( R \), en consecuencia los extremos han de estar necesariamente en la frontera de la región; por que dentro de ella no hay puntos críticos. En efecto buena idea se ha de partir la frontera en \( R_1, \ R_2 \). Del análisis están correctos los puntos B (max) y C (min) para la primera región y el punto A (min) para la segunda región y de ahí es suficiente  comparar con los valores de la función en E y en F, para determinar los extremos tanto en \( R_1,R_2, \ y \ R \)


Saludos

[alucard]

Hola , ¿serían mínimos?? ¿por qué no podrían ser máximos?

[delmar]

Creo que te refieres a los puntos  \( E,F \) y la pregunta es  ¿son extremos relativos? ojo que ambos puntos son puntos de frontera y la definición de extremo relativo, habla de una bola en torno al punto, de tal manera que el valor de la función en el punto, es mayor o menor que en el resto de la bola; pero esto implica que el punto sea interior. Para responder a la interrogante hay que extender el concepto de extremo relativo restringiendo al dominio de la función, con esa extensión el punto A es un mínimo relativo. No he analizado con profundidad para E y F; pero para el punto \( F(0,-2) \) en cualquier bola hay puntos con valores mayores y menores que 4, en consecuencia no es ni mínimo ni máximo relativo, esto por simple análisis de sus derivadas a lo largo de la frontera (derivada negativa), ¿Qué te parece si analizas el punto E?

Saludos