Autor Tema: Diferenciabilidad de una función

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03 Julio, 2020, 05:32 am
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alucard

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Hola , me surgió una duda conceptual sobre este tema , yo tenia entendido que si una función es clase 1 en un punto  A entonces seguro la función es diferenciable.

Entonces para que una función sea diferenciable , ambas derivadas parciales tienen que ser continuas en A

Ahora entre en dudas , dado que encontre un apunte en el cual se afirma lo siguiente

"Se puede demostrar que es suficiente que una sola de las derivadas parciales sea continua para que la  función sea diferenciable"
El libro es el "analisis 2, Garcia/Venturini"

¿Esto es asi , o puede ser un error del libro?
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

03 Julio, 2020, 05:39 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola , me surgió una duda conceptual sobre este tema , yo tenia entendido que si una función es clase 1 en un punto  A entonces seguro la función es diferenciable.

No sólo eso: la clase \( C^1 \) es aquella donde las funciones son diferenciables y cuyas derivadas son continuas.

Citar
Entonces para que una función sea diferenciable , ambas derivadas parciales tienen que ser continuas en A

Asumo que hablas de funciones diferenciables en \( \mathbb{R}^2 \) al decir lo de "ambas". En general no es necesario que las derivadas parciales sean continuas para que la función sea diferenciable, lo que pasa es que hay un teorema que dice que todas las derivadas parciales de una función existen y son continuas si y solo si la función es continuamente diferenciable (es decir: su derivada existe y además es continua).

De ahí deducimos que si la derivada de una función existe y es discontinua en un punto entonces alguna derivada parcial debe ser también discontinua en ese punto.

Citar
Ahora entre en dudas , dado que encontre un apunte en el cual se afirma lo siguiente

"Se puede demostrar que es suficiente que una sola de las derivadas parciales sea continua para que la  función sea diferenciable"
El libro es el "analisis 2, Garcia/Venturini"

¿Esto es asi , o puede ser un error del libro?

Ni idea, la primera vez que leo de algo así pero si lo menciona debe ser cierto.

CORREGIDO.

03 Julio, 2020, 09:06 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Hola , me surgió una duda conceptual sobre este tema , yo tenia entendido que si una función es clase 1 en un punto  A entonces seguro la función es diferenciable.

Entonces para que una función sea diferenciable , ambas derivadas parciales tienen que ser continuas en A

Esa segunda frase no es correcta. No es lo mismo que sea diferenciable, que que sea de clase 1, que es más fuerte. La función puede ser diferenciable pero no tener parciales continuas.

"Se puede demostrar que es suficiente que una sola de las derivadas parciales sea continua para que la  función sea diferenciable"
El libro es el "analisis 2, Garcia/Venturini"

Mira esta prueba de "A Course in Multivariable Calculus and Analysis", de Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye:



Saludos.

03 Julio, 2020, 12:11 pm
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

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Lo pongo en spoiler por ser casi (o todo lo que se ha dicho).


Spoiler
Teorema: Supongamos que una de las derivadas parciales \(  D_1f,D_2f,\cdots,D_nf  \) existe en c y que las restantes \( n-1 \)  derivadas parciales existen en una cierta n-bola \( B(c) \) y son continuas en c.Entonces \( f \) es diferenciable en c.

Editado 2
Una función que sólo es continua y diferenciable en \( (0,0) \).

\( f(x,y) = \begin{cases} x^2+y^2 &\text{si}& (x,y) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q}\\-(x^2+y^2) &\text{si}& (x,y) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R} \setminus (\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}) \end{cases} \)

Editado

\( f(x,y) = \begin{cases} x^2 \cdot sen(1/x) &\text{si}& x \neq 0 \\ 0  &\text{si}& x = 0  \end{cases} \)
[cerrar]

03 Julio, 2020, 03:14 pm
Respuesta #4

alucard

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Hola

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Hola

Hola , me surgió una duda conceptual sobre este tema , yo tenia entendido que si una función es clase 1 en un punto  A entonces seguro la función es diferenciable.

Entonces para que una función sea diferenciable , ambas derivadas parciales tienen que ser continuas en A

Esa segunda frase no es correcta. No es lo mismo que sea diferenciable, que que sea de clase 1, que es más fuerte. La función puede ser diferenciable pero no tener parciales continuas.

Si si, fue un despiste mio, que f sea diferenciable no implica que sea clase 1

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"Se puede demostrar que es suficiente que una sola de las derivadas parciales sea continua para que la  función sea diferenciable"
El libro es el "analisis 2, Garcia/Venturini"

Mira esta prueba de "A Course in Multivariable Calculus and Analysis", de Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye:



Saludos.

Entonces

- Si una funcion es C1 entonces las derivadas parciales en x e y son continuas
- Ahora si una de las derivadas no es continua y la otra si, la funcion no es clase 1, pero si diferenciable

¿correcto?
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

03 Julio, 2020, 07:58 pm
Respuesta #5

martiniano

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Hola.

- Si una funcion es C1 entonces las derivadas parciales en x e y son continuas
- Ahora si una de las derivadas no es continua y la otra si, la funcion no es clase 1, pero si diferenciable

¿correcto?

Yo la segunda la hubiese enunciado un poco diferente:

- Si todas las derivadas parciales de una función existen y una de ellas es continua, entonces la función es diferenciable.

Te he resaltado la condición de existencia de todas las parciales porque no sé si lo tienes interiorizado. Por ejemplo \( f(x,y)=|x| \) tiene la parcial con respecto a \( y \) continua, pero no es diferenciable.

Un saludo.

03 Julio, 2020, 10:15 pm
Respuesta #6

alucard

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Hola.

- Si una funcion es C1 entonces las derivadas parciales en x e y son continuas
- Ahora si una de las derivadas no es continua y la otra si, la funcion no es clase 1, pero si diferenciable

¿correcto?

Yo la segunda la hubiese enunciado un poco diferente:

- Si todas las derivadas parciales de una función existen y una de ellas es continua, entonces la función es diferenciable.

Me olvide mencionar la existencia, entonces si pasa lo que mencionas f no es clase 1 pero si es diferenciable,  ¿es asi?

Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

04 Julio, 2020, 08:31 am
Respuesta #7

martiniano

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Hola

Me olvide mencionar la existencia, entonces si pasa lo que mencionas f no es clase 1 pero si es diferenciable,  ¿es asi?

Bueno. Más o menos. Podría serlo o no. Si una función tiene alguna derivada parcial discontinua ya no es \( \mathcal{C} ^1 \), aunque sea diferenciable.

Un saludo.