La aplicación \( D \) que propones está bien definida si usas el ínfimo, como indicas al final. No me suena haber visto nunca un nombre especial para esta aplicación.
De todas formas \( D \) está muy lejos de ser una distancia en \( P(M) \). Si \( A,B \subseteq M \) comparten un punto, entonces \( D(A,B)=0 \), aunque \( A \) y \( B \) sean muy distintos. Por otro lado, \( D \) no cumple la desigualdad triangular.
Una aplicación que está mucho más cerca de ser una métrica en \( P(M) \) es la distancia de Hausdorff. Aun así, solamente es una distancia de verdad si te restringes a subespacios compactos.
Por otro lado, para responder a la pregunta de si se puede definir la conexidad en \( P(M) \) a partir de \( D \), primero habría que definir una topología en \( P(M) \) para que tuviera sentido hablar de conexidad ahí. Que yo sepa no hay ninguna topología "natural" en \( P(M) \) inducida por la de \( M \), así que no sé qué sentido tiene hablar de conexidad en \( P(M) \).
De todas formas, si tienes alguna idea en esta línea ponla.
En cualquier caso, en el mensaje original probablemente lo que se quería decir es que \( C_x \) es la unión de todos los conjuntos conexos de \( M \) que contienen a \( x \). Es decir, \( C_x \) es la componente conexa de \( x \).
En ese caso, la propiedad b) es inmediata y a) se sigue de que la unión de conjuntos conexos con intersección no vacía dos a dos es conexo.
