Autor Tema: Espacio Conexo

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

03 Julio, 2020, 01:15 am
Leído 461 veces

clizama

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 3
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
Sea \( M \) un espacio métrico, \( x\in{M} \). Se define el conjunto \( C_x=\{A\subseteq{M}:x\in{A}\textsf{ y }A\textsf{ es conexo}\} \)

Demostrar que:

a. \( C_x \) es conexo
b. Si \( x\in{A} \) y \( A \) es conexo entonces \( A\subseteq{C_x} \)

03 Julio, 2020, 09:10 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,016
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 En particular recuerda encerrar las fórmulas entre [tex]...[/tex].

Sea \( M \) un espacio métrico, \( x\in{M} \). Se define el conjunto \( C_x=\{A\subseteq{M}:x\in{A}\textsf{ y }A\textsf{ es conexo}\} \)

Demostrar que:

a. \( C_x \) es conexo
b. Si \( x\in{A} \) y \( A \) es conexo entonces \( A\subseteq{C_x} \)

 Revisa el enunciado. La definición de \( C_x \) no está bien. Tal como está escrito \( C_x \) NO es un subconjunto de \( M \) sino un subconjunto de partes de \( M \), es decir, una familia de conjuntos.

Saludos.

03 Julio, 2020, 02:14 pm
Respuesta #2

martiniano

  • Héroe
  • Mensajes: 1,219
  • País: es
  • Karma: +2/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.

Una pregunta que tiene que ver con esto.

Si \( (M, d) \) es un espacio métrico se puede definir una aplicación \( D:\mathcal{P} (M) ^2\rightarrow{\mathbb{R}} \) de la siguiente manera:

\( D(A, B) =\min\{d(x, y) :x\in{A}, y\in{B}\}  \).

\( D \) no es una distancia porque puede valer cero para elementos distintos ¿Tiene la aplicación \( D \) algún nombre en términos de la distancia \( d \)? ¿Se puede definir conexidad en las partes de \( M \) a partir de \( D \)?

Gracias. Un saludo.

PD. Me acabo de dar cuenta de que \( D \) no está bien definida porque \(    \{d(x, y) :x\in{A}, y\in{B}\} \) podría no tener mínimo. Pero tiene que haber algo así inventado ya.

PD2. Vale. Con el ínfimo sí que estaría bien definida, ¿no?

03 Julio, 2020, 05:21 pm
Respuesta #3

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,682
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
La aplicación \( D \) que propones está bien definida si usas el ínfimo, como indicas al final. No me suena haber visto nunca un nombre especial para esta aplicación.

De todas formas \( D \) está muy lejos de ser una distancia en \( P(M) \). Si \( A,B \subseteq M \) comparten un punto, entonces \( D(A,B)=0 \), aunque \( A \) y \( B \) sean muy distintos. Por otro lado, \( D \) no cumple la desigualdad triangular.
Una aplicación que está mucho más cerca de ser una métrica en \( P(M) \) es la distancia de Hausdorff. Aun así, solamente es una distancia de verdad si te restringes a subespacios compactos.

Por otro lado, para responder a la pregunta de si se puede definir la conexidad en \( P(M) \) a partir de \( D \), primero habría que definir una topología en \( P(M) \) para que tuviera sentido hablar de conexidad ahí. Que yo sepa no hay ninguna topología "natural" en \( P(M) \) inducida por la de \( M \), así que no sé qué sentido tiene hablar de conexidad en \( P(M) \).
De todas formas, si tienes alguna idea en esta línea ponla.

En cualquier caso, en el mensaje original probablemente lo que se quería decir es que \( C_x \) es la unión de todos los conjuntos conexos de \( M \) que contienen a \( x \). Es decir, \( C_x \) es la componente conexa de \( x \).
En ese caso, la propiedad b) es inmediata y a) se sigue de que la unión de conjuntos conexos con intersección no vacía dos a dos es conexo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

03 Julio, 2020, 07:49 pm
Respuesta #4

martiniano

  • Héroe
  • Mensajes: 1,219
  • País: es
  • Karma: +2/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

De todas formas \( D \) está muy lejos de ser una distancia en \( P(M) \). Si \( A,B \subseteq M \) comparten un punto, entonces \( D(A,B)=0 \), aunque \( A \) y \( B \) sean muy distintos. Por otro lado, \( D \) no cumple la desigualdad triangular.

De acuerdo. Pero ahora que caigo, en geometría sí que se habla de distancias entre un par conjuntos de puntos (rectas, planos, circunferencias, etc.) y se entiende que es la mínima de las distancias entre dos puntos uno de cada conjunto. Obviamente, no es una distancia. Pero, aún así, me sorprende que ese concepto no se haya generalizado a espacios métricos arbitrarios.

Una aplicación que está mucho más cerca de ser una métrica en \( P(M) \) es la distancia de Hausdorff. Aun así, solamente es una distancia de verdad si te restringes a subespacios compactos.

De acuerdo. No la conocía.

Por otro lado, para responder a la pregunta de si se puede definir la conexidad en \( P(M) \) a partir de \( D \), primero habría que definir una topología en \( P(M) \) para que tuviera sentido hablar de conexidad ahí. Que yo sepa no hay ninguna topología "natural" en \( P(M) \) inducida por la de \( M \), así que no sé qué sentido tiene hablar de conexidad en \( P(M) \).
De todas formas, si tienes alguna idea en esta línea ponla.

No. Todo lo que he pensado lo he dicho ya.

En cualquier caso, en el mensaje original probablemente lo que se quería decir es que \( C_x \) es la unión de todos los conjuntos conexos de \( M \) que contienen a \( x \). Es decir, \( C_x \) es la componente conexa de \( x \).
En ese caso, la propiedad b) es inmediata y a) se sigue de que la unión de conjuntos conexos con intersección no vacía dos a dos es conexo.

Esa propiedad es clave!!!

De acuerdo, muchas gracias. Un saludo.

03 Julio, 2020, 08:37 pm
Respuesta #5

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,682
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
No, sí que se usa en espacios métricos generales. Además, tienes razón en que a veces a eso se le llama distancia entre conjuntos.
Pero lo que quería dejar claro es que no es (ni está cerca de ser) una distancia en \( P(A) \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

03 Julio, 2020, 09:01 pm
Respuesta #6

martiniano

  • Héroe
  • Mensajes: 1,219
  • País: es
  • Karma: +2/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.

Pero lo que quería dejar claro es que no es (ni está cerca de ser) una distancia en \( P(A) \).

Estoy de acuerdo. Yo primeramente lo había llamado distancia porque se ve que me estaba inspirando en el término que se usa en geometría, pero cuando me he dado cuenta de que en realidad no lo era me he lanzado a corregirlo. Como no he visto a nadie conectado en ese momento no he indicado el cambio, pero quizás tú me hayas calado   ;D

Venga. Un saludo.  ;)