Autor Tema: Norma de funcionales lineales

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01 Julio, 2020, 12:13 pm
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heycruss

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Hola de nuevo

Os traigo otro problema que estoy teniendo a ver si me pueden echar una mano. Es el siguiente:

En el espacio \( C^1[-1,1] \) de las funciones diferenciables continuamente 1 vez y con la norma \( ||x(t)||:=max_{t\in{[-1,1]}}|x(t)| + max_{t\in{[-1,1]}}|x'(t)| \) se definen los funcionales:
\(  f_{\epsilon}(x(t)):=\frac{1}{2\epsilon}[x(\epsilon)-x(-\epsilon)] \) para \(  \epsilon\neq0 \) un número real con \( |\epsilon|<1 \)
\( f_0(x(t)):=x'(0) \)

Me pide probar que son lineales y continuos, además de eso hallar la norma de ambos funcionales lineales. Mi problema viene al demostrar que son continuos utilizando que son acotados, me sale como valor de la cota en ambos casos 1, esto hace que la norma de los funcionales estén acotadas ambas por 1 y la idea es encontrar una función de \( C^1[-1,1] \) que llegue a esa cota. Pero en la búsqueda de esa función, solo consigo llegar a \( \frac{1}{2} \) lo cual me hace sospechar que puedo haberme equivocado a la hora de sacar el valor para demostrar que los funcionales son acotados, o simplemente que no encuentro la función adecuada para llegar a la cota.

Un saludo

01 Julio, 2020, 01:19 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Creo que está bien y la norma es \( 1 \). Una idea para ver que la norma es uno.
Considera las funciones:
\( x_\epsilon(t)=\begin{cases}
{\frac{\epsilon}{1-\epsilon}}(1+t)&\text{si}& t \in [-1, -\epsilon]\\ t &\text{si}& t \in [-\epsilon, \epsilon]\\ - \frac{\epsilon}{1-\epsilon}(1-t)&\text{si}& t \in [\epsilon, 1]
\end{cases} \)

Estas funciones están formadas por tres segmentos de recta que van de \( (-1,0) \) a \( (-\epsilon,-\epsilon) \), de \( (-\epsilon, -\epsilon) \) a \( (\epsilon,\epsilon) \) y de \( (\epsilon,\epsilon) \) a \( (1,1) \). Tienen el inconveniente de que no son funciones \( C^1 \): no son derivables en \( -\epsilon \) ni en \( \epsilon \). Pero no es un problema grave, ya que las puedes aproximar tan bien como quieras en tu norma por una función \( C^1 \) ("suavizando" las puntas). Llama a estas funciones suavizadas de nuevo \( x_\epsilon \).

Ahora, estas funciones cumplen que \[ \max_{t \in [-1,1]} |x(t)| = \epsilon \] y \[ \max_{t \in [-1,1]} |x'(t)|= 1 \]. Por tanto,
\( \frac{|x'(0)|}{||x||} = \frac{1}{1+\epsilon} \)
que tiende a \( 1 \) cuando \( \epsilon \) va a \( 0 \).
Para el otro funcional también te sirve este ejemplo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

01 Julio, 2020, 01:32 pm
Respuesta #2

heycruss

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Hola

Gracias por responder. Efectivamente parece que la función funciona perfectamente para lo que nos piden.
Tengo una duda, ¿sería posible dar una expresión analítica para la función suavizada, o alguna otra forma de justificar rigurosamente que se pueda suavizar?

01 Julio, 2020, 01:55 pm
Respuesta #3

Eparoh

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Hola, siguiendo la idea de geómetracat, creo que podrías considerar la familia de funciones \( x_n(t)=\frac{1}{n\pi} \sin(n\pi t+\pi) \) pues su máximo en valor absoluto tiende a cero cuando \( n \) tiende a infinito, pero su derivada \( x_n'(t)=-\cos(n\pi t) \) tiene máximo en valor absoluto siempre la unidad, y se alcanza justo en cero.

Igual estoy equivocado, pero si es correcto, se soluciona el problema de la derivabilidad.

Un saludo.

01 Julio, 2020, 02:59 pm
Respuesta #4

geómetracat

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Puedes hacer varias cosas. Puedes interpolar entre dos puntos cerca del pincho con un polinomio (de grado \( 3 \) te basta) imponiendo que tanto los puntos como las derivadas enganchen bien. O puedes hacer una convolución con un "mollifier". En cualquier caso debes comprobar que el valor de la derivada en la parte nueva no se descontrola.

Pero es mucho mejor la solución de Eparoh, que hace lo mismo y ya son funciones \( C^1 \) (de hecho \( C^\infty \)). Así no tienes que preocuparte por suavizar la función.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

01 Julio, 2020, 06:32 pm
Respuesta #5

heycruss

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Muchas gracias a todos por la ayuda, tengo la impresión de que me puedo apañar.
Un saludo