Autor Tema: Sucesión convergente débilmente pero no convergente en norma

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01 Julio, 2020, 11:46 am
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heycruss

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Hola a todos

Estoy teniendo problemas con un ejercicio que no consigo dar con una solución, es el siguiente:
En el espacio C[0,1] de las funciones continuas con la norma \( || x(t)||:=max_{t\in{[0,1]}} |x(t)| \) dar un ejemplo de una sucesión \( x_{n}(t) \) que converja débilmente a x(t) pero que no converja para la topología de la norma.

Un compañero y yo hemos estado probando sucesiones de funciones de la forma:
\( f_n(t)=\begin{cases} 1-nt & \text{si}& 0\leq{t\leq{\frac{1}{n}}}\\0 & \text{si}& \frac{1}{n}\leq{t\leq{1}}\end{cases} \)
Pero parece que no terminan de funcionar bien

Un saludo




01 Julio, 2020, 03:13 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Si no me equivoco convergencia débil implica convergencia puntual entonces sería suficiente habría que probar con encontrar una sucesión que converja puntualmente pero no uniformemente. A lo mejor eso ayuda.

01 Julio, 2020, 03:50 pm
Respuesta #2

geómetracat

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Me parece que el ejemplo funciona. Como indica Masacroso hay que probar con sucesiones que converjan puntualmente pero no uniformemente. De hecho, creo que cualquier sucesión que converja puntualmente pero no uniformemente, y que sea equiacotada  (existe \( C>0 \) tal que \( |f_n(x)| < C \) para todo  \( x \) y para todo \( n \)) debería valer.

Otro tema es demostrarlo. ¿Qué sabes sobre el dual de \( C([0,1]) \)? ¿Conoces el teorema de representación de Riesz?
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

01 Julio, 2020, 04:11 pm
Respuesta #3

heycruss

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Es justo lo que estaba buscando, una función que converja puntualmente, pero no uniformemente, en el caso de la propuesta lo que me falla es probar, en caso de que sea así, la convergencia débil.
Y sobre el Teorema, no estoy seguro si lo he visto en clase, no estoy familiarizado con él o con su uso

01 Julio, 2020, 04:25 pm
Respuesta #4

geómetracat

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El teorema de representación de Riesz dice que todo funcional lineal continuo \( \varphi \) en \( C([0,1]) \) es de la forma:
\[ \phi(f)= \int_{[0,1]} f d\nu \],
donde \[ \nu \] es una medida (de Radón) signada.

Si sabes esto el resultado es inmediato usando el teorema de convergencia dominada. Si \[ f_n \to f \] puntualmente y \[ (f_n) \] está equiacotada por \[ C \], podemos aplicar convergencia dominada y tenemos:
\[ \lim_n \phi(f_n) = \lim_n \int_{[0,1]} f_n d\nu = \int_{[0,1]}fd\nu = \phi(f) \].
Como esto vale para cualquier \[ \phi \in C([0,1])^* \], tenemos convergencia débil.

Pero sin usar el teorema de representación no se me ocurre cómo demostrar la convergencia débil, la verdad.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

02 Julio, 2020, 04:34 pm
Respuesta #5

heycruss

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Me parece que el ejemplo funciona. Como indica Masacroso hay que probar con sucesiones que converjan puntualmente pero no uniformemente. De hecho, creo que cualquier sucesión que converja puntualmente pero no uniformemente, y que sea equiacotada  (existe \( C>0 \) tal que \( |f_n(x)| < C \) para todo  \( x \) y para todo \( n \)) debería valer.

Justo un compañero me comentó que ese resultado lo tenemos en uno de los libros que proponen como apoyo para la asignatura (Kolmogorov página 210) puedo usarlo entonces.
Ahora, he demostrado la convergencia puntual y que la sucesión de funciones es equiacotada, luego converge débilmente a :
f(t)=\begin{cases} 1 & \text{si}& t=0\\0 & \text{si}& 0<t\leq 1\end{cases}
Ahora, dado que la convergencia en la norma dada implicaría convergencia débil, el único candidato para la convergencia en norma de f_n(t) sería f(t), pero como no es continua automáticamente deja de ser candidato y habríamos concluido.

¿Podrían confirmarme si el razonamiento seguido es correcto?

02 Julio, 2020, 05:17 pm
Respuesta #6

geómetracat

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Perdón, se me fue la pinza. El ejemplo no funciona porque el límite tiene que estar en \( C([0,1]) \), pero en tu ejemplo no lo está (el límite no es continuo). Lo que hay que encontrar es una sucesión de funciones continuas equiacotadas que converjan puntualmente pero no uniformemente a una función continua.

Por ejemplo, creo que \( f_n(x) = nxe^{-nx} \) sí debería funcionar.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

02 Julio, 2020, 06:16 pm
Respuesta #7

heycruss

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Parece que sí funciona. He probado ver si converge puntualmente a  \( f(x)=0 \) \(  \forall x \in [0,1] \).
A priori el 0 no nos da problemas ya que la imagen de \( f_n(x) \) siempre es 0 para 0 \( \forall \) n;
Y para el resto de puntos, dado \( a \in (0,1] \), \( |nae^{-na}|\longrightarrow{0} \) cuando \( n\longrightarrow{\infty} \) sale bien haciendo el límite.
Para ver que era equiacotada, ha bastado jugar un poco con las derivadas y ver que siempre hay un máximo en \( \frac{1}{n} \) \( \forall n \) y en valor es siempre el mismo, e^-1 que tomamos como cota. Con esto tenemos la convergencia débil.
Y para probar que no converge basta considerar el ya mencionado \( \frac{1}{n} \)  el cual hace que la norma sea e^-1.

¿Qué tal lo veis?

02 Julio, 2020, 07:17 pm
Respuesta #8

geómetracat

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La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

02 Julio, 2020, 07:40 pm
Respuesta #9

heycruss

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