Autor Tema: Cerradura de igualdad en funciones continuas

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01 Julio, 2020, 07:32 pm
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ASamuel

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Hola, me he encontrado con el siguiente resultado:

Sean \( f, g : (X, d_X ) → \mathbb{R}  \) funciones continuas. Probar que el conjunto \( \{x\in X:f (x) = g(x)\} \) es cerrado en \( X \).

Podrían ayudarme a demostrarlo por favor o en su defecto, ver si es falso, gracias.

01 Julio, 2020, 08:17 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola, me he encontrado con el siguiente resultado:

Sean \( f, g : (X, d_X ) → \mathbb{R}  \) funciones continuas. Probar que el conjunto {\( x ∈ X : f (x) = g(x) \)} es cerrado en \( X \).

Podrían ayudarme a demostrarlo por favor o en su defecto, ver si es falso, gracias.

Pista: si \( f \) y \( g \) son continuas entonces \( h:=f-g \) también es continua y pertenece al mismo espacio métrico, entonces es suficiente con demostrar que \( h^{-1}(0) \) es un conjunto cerrado cuando \( h \) es una función contínua.

P.D.: mejor el término clausura, que transmite mejor la idea de cerrar algo, que el de cerradura, que más bien es un concepto relacionado a los mecanismos de clausura de las puertas.

03 Julio, 2020, 01:58 am
Respuesta #2

ASamuel

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Disculpa, no entiendo porque basta con probar eso, eso quiere decir que mi conjunto es lo mismo que \( h^{-1}(0) \)?¿como podría ver eso?

03 Julio, 2020, 03:26 am
Respuesta #3

Masacroso

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Disculpa, no entiendo porque basta con probar eso, eso quiere decir que mi conjunto es lo mismo que \( h^{-1}(0) \)?¿como podría ver eso?

Observa que \( f(x)=g(x) \) si y solo si \( f(x)-g(x)=0 \), que es lo mismo que \( h(x)=0 \) definiendo \( h:=f-g \). Por tanto \( \{x\in X:f(x)=g(x)\}=\{x\in X:h(x)=0\}=h^{-1}(0) \). Ahora bien, te piden mostrar que ese conjunto es cerrado, y como \( h \) es continua entonces sería suficiente con demostrar que la preimagen de un conjunto cerrado (ya que el conjunto \( \{0\} \) es cerrado) de cualquier función continua es cerrada.