Autor Tema: Demostrar

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29 Junio, 2020, 07:15 pm
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renatasinnata

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Pruebe que si f : R → R es invertible y g: R → R es invertible entonces f ◦ g es invertible y halle la inversa.

29 Junio, 2020, 09:01 pm
Respuesta #1

delmar

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Hola

Por reducción al absurdo, suponer que \( \exists{f,g} \) funciones con las condiciones dadas en el enunciado, tal que \( f\circ{g} \) no es inyectiva. Esto significa que \( \exists{x_1,x_2} \ / \ x_\neq x_2, \ \wedge \ (f\circ{g})(x_1)=(f\circ{g})(x_2) \)

Desarrollando se tiene : \( f(g(x_1))=f(g(x_2)) \) Ec. A

Por ser g invertible, es inyectiva entonces \( g(x_1)\neq g(x_2) \)

Por ser f invertible, es inyectiva entonces \( f(g(x_1))\neq f(g(x_2)) \) contradice a la Ec. A, absurdo entonces .....

Para hallar la inversa observa :
\( (f\circ{g})(x)=f(g(x)) \)

Denominando \( y=f(g(x)) \) Ec. B la compuesta se presenta como un conjunto de pares ordenados (x,y) se tiene por la Ec. B que \( \forall{y}\in{Im(f\circ{g})},  \ \ \ g(x)=f^{-1}(y) \) continuando el desarrollo \( x=g^{-1}(f^{-1}(y)) \), finalmente por definición de inversa (aplicada a \( f\circ{g} \)) se llega a la conclusión .......


Saludos