Autor Tema: Extremos de una función dada las derivadas direccionales

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29 Junio, 2020, 04:47 am
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alucard

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Hola tengo el siguiente enunciado , es un verdadero falso


La función  \( f:R^2\to R \) es derivable en toda dirección en cualquier punto de \( R^2 \) siendo

\( \hat r=(u,v) \), si  \( f' ((1,2)\cdot \hat r)=4u+3v^2\rightarrow{f(1,2)} \) puede ser un extremo local

Para mi es F, dado que puedo calcular las derivadas parciales y con ellas obtener el gradiente de f,

\( \nabla f(1,2)=(4,3)\neq (0,0) \), no cumple la condición necesaria , solo que no se si esta bien justificado
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

29 Junio, 2020, 08:59 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola tengo el siguiente enunciado , es un verdadero falso


La función  \( f:R^2\to R \) es derivable en toda dirección en cualquier punto de \( R^2 \) siendo

\( \hat r=(u,v) \), si  \( f' ((1,2)\cdot \hat r)=4u+3v^2\rightarrow{f(1,2)} \) puede ser un extremo local

Para mi es F, dado que puedo calcular las derivadas parciales y con ellas obtener el gradiente de f,

\( \nabla f(1,2)=(4,3)\neq (0,0) \), no cumple la condición necesaria , solo que no se si esta bien justificado

Observa que \( f'(1,2) \) es una función lineal cuyo dominio es \( \mathbb{R}^2 \) así que \( f'((1,2)\cdot \hat r) \) debería ser más bien \( f'(1,2)\hat r \), o \( \nabla f(1,2)\cdot \hat r \), es decir, no habría ahí un doble paréntesis ya que la función es \( f'(1,2) \) que actúa sobre \( \hat r \). Por otra parte si \( \hat r:=(u,v) \) es un vector arbitrario de \( \mathbb{R}^2 \) entonces es imposible que \( \nabla f(1,2)\cdot \hat r=4u+3v^2 \) ya que entonces \( f'(1,2) \) no sería una función lineal, así que asumo que será un error tipográfico y sería \( \nabla f(1,2)\cdot \hat r=4u+3v \).

Teniendo todo esto en cuenta entonces sabemos que si en \( (1,2) \) \( f \) tiene un extremo local entonces \( \nabla f(1,2)=(0,0) \), y nos dicen que \( \nabla f(1,2)\cdot (u,v)=4u+3v \), por tanto se deduce fácilmente que \( \nabla f(1,2)=(4,3) \), así que \( f \) no tendría un extremo local en \( (1,2) \).

CORREGIDO.

29 Junio, 2020, 03:56 pm
Respuesta #2

alucard

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Pero porque f tiene que ser liineal necesariamente?
f'(A,r) es la definición de las derivadas direccionales , no entiendo porque decís que es f'(12)r
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

29 Junio, 2020, 04:19 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Pero porque f tiene que ser liineal necesariamente?

No te dice \( f \), sino \( f'(A) \) o \( df(A) \) es decir, su diferencial en un punto fijo \( A \). Esa es la que siempre es lineal.

Citar
f'(A,r) es la definición de las derivadas direccionales , no entiendo porque decís que es f'(12)r

Si por \( f'(A,r) \) te refieres a la derivada direccional en el punto \( A \) y la dirección de \( r \), si fijas \( A \), entonces esa función es lineal en \( r \), que es lo que te indica Mascacroso. Es decir:

\( f'((1,2),(u,v))=\dfrac{df}{dx}(1,2)\cdot u+\dfrac{df}{dy}(1,2)\cdot v \)

No puede aparecer en esa expresión \( v^2 \).

Saludos.

29 Junio, 2020, 05:07 pm
Respuesta #4

Masacroso

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Además de lo que menciona Luis quería recalcar que esta notación \( f' ((1,2)\cdot \hat r) \) no era correcta porque \( (1,2)\cdot \hat r \) es un escalar, pero \( f' \) no es una función escalar, es una función que va desde \( \mathbb{R}^2 \) al espacio de los funcionales lineales sobre \( \mathbb{R}^2 \), es decir que

\( \displaystyle{
f': \mathbb{R}^2\to \mathcal{L}(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}),\quad (x,y)\mapsto f'(x,y)
} \)

donde \( \mathcal{L}(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}) \) es el espacio de funciones lineales \( \mathbb{R}^2\to \mathbb{R} \). Es decir que \( f' \) es una función cuyo dominio es \( \mathbb{R}^2 \) y cada \( f'(x,y) \) es una función lineal cuyo dominio es \( \mathbb{R}^2 \) (y cuya imagen es \( \mathbb{R} \)).

29 Junio, 2020, 05:17 pm
Respuesta #5

geómetracat

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La notación es muy extraña (entiendo que debe querer decir la derivada direccional en el punto \( (1,2) \) en la dirección \(  \hat{r} \)).

Pero lo de la linealidad no veo tan claro que sea una errata. Para asegurar que las derivadas direccionales son lineales necesitas que \( f \) sea diferenciable. Pero aquí lo único que dicen sobre \( f \) es que existen todas las derivadas direccionales en cualquier punto. Podría ser que existieran todas las derivadas direccionales, \( f \) fuera no diferenciable y las derivadas direccionales no fueran lineales. En este caso tampoco vale la expresión de las derivadas direccionales con el gradiente.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

29 Junio, 2020, 07:32 pm
Respuesta #6

alucard

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Ante todo gracias por sus respuestas

La notación es muy extraña (entiendo que debe querer decir la derivada direccional en el punto \( (1,2) \) en la dirección \(  \hat{r} \)).

Pero lo de la linealidad no veo tan claro que sea una errata. Para asegurar que las derivadas direccionales son lineales necesitas que \( f \) sea diferenciable. Pero aquí lo único que dicen sobre \( f \) es que existen todas las derivadas direccionales en cualquier punto. Podría ser que existieran todas las derivadas direccionales, \( f \) fuera no diferenciable y las derivadas direccionales no fueran lineales. En este caso tampoco vale la expresión de las derivadas direccionales con el gradiente.

Esto es lo que también entiendo , por la teoría que tengo es , que una función puede ser derivable en toda dirección y no ser diferenciable, pero si es derivable en toda dirección seguro existen las derivadas parciales.

La igualdad  \( \nabla f(A)\cdot \hat r=f(A,\hat r) \) solo se cumple si f es diferenciable , en ese ejercicio como bien dicen no es diferenciable dado que no tengo una expresión lineal ,  pero lo que si puedo asegurar es que las derivadas parciales existen y su valor seria

\( \dfrac{df}{dx}(1,2)=4,\dfrac{df}{dy}(1,2)=3 \)

Tomando las direcciones \( \hat r=(1,0),\hat r=(0,1) \)  dado que la función es derivable en toda dirección puedo obtener de esa manera las derivadas parciales , esto es correcto  ???

PD El enunciado esta correctamente transcripto
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

29 Junio, 2020, 09:19 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Pero lo de la linealidad no veo tan claro que sea una errata. Para asegurar que las derivadas direccionales son lineales necesitas que \( f \) sea diferenciable.

Cierto; pero aun así, (sino me equivoco esta vez  ;)), lo que si tiene que cumplirse en cualquier caso para las direccionales es que sean homogéneas de grado uno, es decir, lineal para producto por escalar:

\( f'(A,k\vec r)=kf'(A,\vec r) \)

Y eso no se cumple en la expresión dada con ese término cuadrático.

La igualdad  \( \nabla f(A)\cdot \hat r=f(A,\hat r) \) solo se cumple si f es diferenciable , en ese ejercicio como bien dicen no es diferenciable dado que no tengo una expresión lineal ,  pero lo que si puedo asegurar es que las derivadas parciales existen y su valor seria

\( \dfrac{df}{dx}(1,2)=4,\dfrac{df}{dy}(1,2)=3 \)

Tomando las direcciones \( \hat r=(1,0),\hat r=(0,1) \)  dado que la función es derivable en toda dirección puedo obtener de esa manera las derivadas parciales , esto es correcto  ???

Si; si la expresión de la direccional fuese correcta esas serían las parciales, que son al fin y al cabo un caso particular de direccionales para los vectores de la base canónica.

Saludos.

29 Junio, 2020, 10:04 pm
Respuesta #8

geómetracat

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Cierto; pero aun así, (sino me equivoco esta vez  ;)), lo que si tiene que cumplirse en cualquier caso para las direccionales es que sean homogéneas de grado uno, es decir, lineal para producto por escalar:

\( f'(A,k\vec r)=kf'(A,\vec r) \)

Y eso no se cumple en la expresión dada con ese término cuadrático.

Tienes toda la razón, deben ser homogéneas de grado uno. Ahora no cabe duda de que el enunciado está mal.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

30 Junio, 2020, 12:10 am
Respuesta #9

Masacroso

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Pues ha salido un problema más interesante del que parecía en un principio. Me había saltado la parte en que no se asume que \( f \) tiene derivada, había asumido sin más que era diferenciable. Al final Luis y geómetracat pusieron orden  :aplauso: :aplauso: :aplauso:

03 Julio, 2020, 09:58 am
Respuesta #10

manooooh

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Hola

Comentar que creo que el problema del ejercicio está explicado en este video: https://youtu.be/CMTxHJP-SKI?t=793

Allí usan la derivada direccional y no el producto, además de un múltiple choice.

Saludos

03 Julio, 2020, 11:40 am
Respuesta #11

Luis Fuentes

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Hola

Comentar que creo que el problema del ejercicio está explicado en este video: https://youtu.be/CMTxHJP-SKI?t=793

Allí usan la derivada direccional y no el producto, además de un múltiple choice.

El vídeo no tiene en cuenta que en realidad no existe una función en las condiciones indicadas. Teniendo en cuenta esto en realidad la conclusión sería justo la contraria, todas las opciones son verdaderas excepto la que dice que todas son falsas.

Spoiler
Esto es porque en una proposición \( P\Rightarrow{}Q \), si \( P \) es falso la proposición es verdadera independientemente de \( Q \).

Por ejemplo es verdadero que: \[ x\in \Bbb R|x^2=-1\quad \Rightarrow{}\quad 0=1. \]
[cerrar]

Saludos.

03 Julio, 2020, 05:36 pm
Respuesta #12

alucard

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Hola



La igualdad  \( \nabla f(A)\cdot \hat r=f(A,\hat r) \) solo se cumple si f es diferenciable , en ese ejercicio como bien dicen no es diferenciable dado que no tengo una expresión lineal ,  pero lo que si puedo asegurar es que las derivadas parciales existen y su valor seria

\( \dfrac{df}{dx}(1,2)=4,\dfrac{df}{dy}(1,2)=3 \)

Tomando las direcciones \( \hat r=(1,0),\hat r=(0,1) \)  dado que la función es derivable en toda dirección puedo obtener de esa manera las derivadas parciales , esto es correcto  ???

Si; si la expresión de la direccional fuese correcta esas serían las parciales, que son al fin y al cabo un caso particular de direccionales para los vectores de la base canónica.

Saludos.
No comprendo bien que queres decir con eso que resalte en rojo , esta expresión

\( f' ((1,2)\cdot \hat r)=4u+3v^2 \), no me permite hallar las derivadas parciales simplemente tomando las direcciones que puse en mi mensaje anterior ??

Entonces en este caso esto no es correcto  \( \nabla f(1,2)=(4,3) \) ??

Para la existencia de extremos , es correcto afirmar que si una función es derivable para toda dirección no es condición suficiente para afirmar que hay un extremo en A?

Si es diferenciable es suficiente  para afirmar que dichos extremos puedan  existir?
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

04 Julio, 2020, 08:37 am
Respuesta #13

Luis Fuentes

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Hola

Si; si la expresión de la direccional fuese correcta esas serían las parciales, que son al fin y al cabo un caso particular de direccionales para los vectores de la base canónica.
No comprendo bien que queres decir con eso que resalte en rojo , esta expresión

\( f' ((1,2)\cdot \hat r)=4u+3v^2 \), no me permite hallar las derivadas parciales simplemente tomando las direcciones que puse en mi mensaje anterior ??

Entonces en este caso esto no es correcto  \( \nabla f(1,2)=(4,3) \) ??

Piues si lees los mensajes anteriores lo que apunté es que el enunciado está mal, es decir, es imposible que \( f' ((1,2)\cdot \hat r)=4u+3v^2 \) sea la expresión de una derivada direccional.

El motivo es que la derivada direccional siempre cumple \( f'(A,k \vec r)=kf'(A,\vec r). \) Y esa expresión NO lo cumple:

\( f'((1,2),k(u,v))=4ku+\color{red}3k^2v^2\color{black}\neq kf'((1,2),(u,v))=4ku+\color{red}3kv^2\color{black} \)

Ahora lo que si es cierto es que dada la expresión general de la derivada direccional en un punto, en particular uno conoce las parciales, es decir si conociésemos una expresión de f'((1,2),(u,v)) correcta se tendría que:

\( \dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}(1,2)=f'((1,2),(1,0) \)         \( \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}(1,2)=f'((1,2),(0,1) \)

Citar
Para la existencia de extremos , es correcto afirmar que si una función es derivable para toda dirección no es condición suficiente para afirmar que hay un extremo en A?

Eso es cierto; pero realmente no sé si es lo que querías decir. Es una obviedad y no aporta mucho. Que sea derivable en toda dirección no llega por supuesto para afirmar que hay un extremo. ¿Por qué había de llegar?. Ni que sea diferenciable llega tampoco...

Una propiedad más interesante al respecto es que si en un punto es derivable en toda dirección y tiene un extremo en ese punto, entonces todas esas derivadas direccionales tienen que ser nulas. El recíproco no es cierto; las derivadas direccionales pudieran ser nulas y no tener un extremo en el punto.

Citar
Si es diferenciable es suficiente  para afirmar que dichos extremos puedan  existir?

De nuevo es una afirmación tan cierta como vaga e inútil. ¿Para afirmar que puedan existir? Claro que pueden existir (¡o no!) si es diferenciable y también si no lo es.  Afirmar que pueden existir no dice nada demasiado útil.

En general en tus últimos problemas estás teniendo mezclando de manera muy confusa condiciones necesarias y suficentes, afirmaciones y sus recíprocas.

Cuando te dan una condición suficiente para que ocurra algo, es decir si se cumple \( A \) entonces se tiene \( B \), si NO se cumple \( A \) no sabemos nada sobre \( B \). Tu tiendes a escribir las cosas como si pensases que en un caso así si no se cumple \( A \) entonces no se cumple \( B \).

Saludos.