Autor Tema: Mapeos conformes.

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28 Junio, 2020, 04:08 am
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ASamuel

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Hola, podrían ayudarme con lo siguiente por favor:

Encuentre el mapeo conforme del angulo \( −\frac{\pi}{4} < Arg (z) < \frac{\pi}{2} \) al semiplano derecho \( Re(w) > 0 \) tal que \( w(1 − i) = 2, w(i) = 1, w(0) = 0. \)

He visto un ejemplo similar con \( −\frac{\pi}{2} < Arg (z) < \frac{\pi}{2} \), he intentado seguir el mismo patrón, pero no he podido, por la apertura de ese angulo. Agradeceria mucho si me ayudara, gracias.

28 Junio, 2020, 08:52 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola, podrían ayudarme con lo siguiente por favor:

Encuentre el mapeo conforme del angulo \( −\frac{\pi}{4} < Arg (z) < \frac{\pi}{2} \) al semiplano derecho \( Re(w) > 0 \) tal que \( w(1 − i) = 2, w(i) = 1, w(0) = 0. \)

He visto un ejemplo similar con \( −\frac{\pi}{2} < Arg (z) < \frac{\pi}{2} \), he intentado seguir el mismo patrón, pero no he podido, por la apertura de ese angulo. Agradeceria mucho si me ayudara, gracias.

Si tu problema es la apertura del ángulo te doy una indicación para empezar. Comienza componiendo con la transformación:

\( f(z)=\dfrac{4}{3}z-\dfrac{\pi}{6}\color{red}i\color{black} \)

que lleva la franja dada en \( −\frac{\pi}{2} < Arg (z) < \frac{\pi}{2} \).

Saludos.

P.D: Usa \pi para \( \pi \). Te lo he corregido.

CORREGIDO.

28 Junio, 2020, 09:24 am
Respuesta #2

ASamuel

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Muchas gracias Luis.

Disculpa, ¿como es que has dado con la transformación que lleva a esa franja?

28 Junio, 2020, 09:56 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Disculpa, ¿como es que has dado con la transformación que lleva a esa franja?


Tenía una errata que he corregido.

Simplemente mediante una transformación lineal en la parte compleja que lleve el intervalo \( [-\pi/4,\pi/2] \) en \( [-\pi/2,\pi/2] \). Es decir;

\( f(z)=az+b \)

tal que:

\( f(-\pi i/4)=-\pi i/2 \)
\( f(\pi i/2)=\pi i/2 \)

Saludos.

28 Junio, 2020, 01:05 pm
Respuesta #4

Abdulai

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Perdón Luis,  pero con esa transformación el ángulo sigue siendo ángulo y entiendo que deberia mapearse en el eje imaginario.

Aunque veo que los puntos que da pertenecen al ángulo pero dos de ellos no se mapean en el eje imaginario.

28 Junio, 2020, 01:29 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Perdón Luis,  pero con esa transformación el ángulo sigue siendo ángulo y entiendo que deberia mapearse en el eje imaginario.

Si. Pero yo lo único que he pretendido con ella es solventar lo que parecía dificultar a ASamuel:

He visto un ejemplo similar con \( −\frac{\pi}{2} < Arg (z) < \frac{\pi}{2} \), he intentado seguir el mismo patrón, pero no he podido, por la apertura de ese angulo. Agradeceria mucho si me ayudara, gracias.

De esas palabras deduzco que si la franja inicial estuviese con argumento en \( (-\pi/2,\pi/2) \) sabría solucionarlo. El primer paso que le he indicado es simplemente para conseguir que sea así, llevando la franja de argumento \( (-\pi/4,\pi/2) \) en \( (-\pi/2,\pi/2) \).

Saludos.

28 Junio, 2020, 04:29 pm
Respuesta #6

Abdulai

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Me refiero a que al mapear el ángulo  \( -\frac{\pi}{4} < \text{Arg}(z) < -\frac{\pi}{2} \) al semiplano \( \text{Re}(w) > 0 \)
las semirrectas \( z=r\,e^{-i\frac{\pi}{4}} \)  y  \( z= i\,r \) irán a parar al eje imaginario,  pero esto no puede ocurrir con una dilatación+traslación.


Yo había pensado en una potencia para "enderezar" el ángulo, del tipo  \( w(z) = a\,e^{-i\pi/6} z^{4/3} \)

Pero salvo el 0, no puedo cumplir las otras condiciones porque pertenecen a la frontera   :(

28 Junio, 2020, 06:14 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Me refiero a que al mapear el ángulo  \( -\frac{\pi}{4} < \text{Arg}(z) < -\frac{\pi}{2} \) al semiplano \( \text{Re}(w) > 0 \)
las semirrectas \( z=r\,e^{-i\frac{\pi}{4}} \)  y  \( z= i\,r \) irán a parar al eje imaginario,  pero esto no puede ocurrir con una dilatación+traslación.

No se si no te entiendo yo a ti, o no me entiendes tu a mi. ¡O las dos cosas!.  :D

Lo único que he pretendido es que ahora su problema sea:

Encontrar una transformación conforme que lleve la franja \( -\dfrac{\pi}{2}<arg(w)<\dfrac{\pi}{2} \) en \( Re(w)>0 \), cumpliendo además:

\( w(\dfrac{4}{3}-\dfrac{4}{3}i-\dfrac{\pi}{6})=2 \)


\( w(\dfrac{4}{3}+\dfrac{\pi}{6})=1 \)


\( w(-\dfrac{\pi}{6}i)=0 \)

Que esencialmente sólo difiere del original en que ahora la franja a transformar va de \( -\pi/2 \) a \( \pi/2 \).

Insisto en que mi motivación para dar está indicación es que parecía que ese detalle sobre el rango de la franja era lo que diferenciaba su ejercicio de otros que si sabía hacer.

El siguiente paso natural sería aplicar:

\( g(z)=e^{z} \)

Con lo cual la imagen ya es el semiplano \( Re(w)>0 \).

El problema sería ahora ajustar los puntos. Ahí hay algo raro, porque pide llevar el \( 0 \) que no está en la frontera de la región original en el \( 0 \) que SI está en la frontera de la región imagen. O estoy entendiendo algo mal, o eso no es posible (es decir \( Re(w(0))=0 \) no cumpliría \( Re(w)>0 \)).

Saludos.

28 Junio, 2020, 07:53 pm
Respuesta #8

ASamuel

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Qué tal Luis.
He notificado de este hecho a mi profesor y me ha dicho que fue un error de impresión, en vez de semiplano derecho es semiplano superior y además que las condiciones deben ser \( w(1-i)=2, w(i)=-1, w(0)=0 \), ahora me ha surgido la duda de si con ello se arregla lo que mencionas.

28 Junio, 2020, 10:22 pm
Respuesta #9

Abdulai

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...

No se si no te entiendo yo a ti, o no me entiendes tu a mi. ¡O las dos cosas!.  :D

Lo único que he pretendido es que ahora su problema sea:

Encontrar una transformación conforme que lleve la franja \( -\dfrac{\pi}{2}<arg(w)<\dfrac{\pi}{2} \) en \( Re(w)>0 \), cumpliendo además:
....

Está, está... soy yo que pensaba armar la transformación en sentido contrario.  No te preocupes, me pasa cada vez mas seguido   ;)