Hola. Entiendo la siguiente demostración, excepto un hecho (voy a ponerlo literal):
Sea \( E \) una extensión del cuerpo \( F \) y \( \alpha \in{E} \) algebraico sobre \( F \). Entonces \( F(\alpha) \cong F[X]/<p(x)> \), donde \( <p(x)> \) es el polinomio minimal de \( \alpha \) sobre \( F \).
Demostración
Sea \( \phi_{\alpha}:F[X] \rightarrow{E} \) el homormorfismo evaluación. El núcleo de esta función es \( <p(x)> \), donde \( <p(x)> \) es el polinomio minimal de \( \alpha \). Por el Primer Teorema de Isomorfismos de Anillos, la imagen de \( \phi_{ \alpha} \) en \( E \) es isomorfa a \( F(\alpha) \), pues contiene tanto a \( F \) como a \( \alpha \).
No dudo que es correcta, pero no entiendo al última parte. Por lo que yo veo, la demostración empieza bien diciendo que el núcleo de esta función es \( <p(x)> \), donde \( <p(x)> \) es el polinomio minimal de \( \alpha \). Ahora bien, aplicando el Primer Teorema de Isomorfismos de Anillos, tenemos que
\( F[X]/<p(x)> \cong img(\phi_{\alpha}) \). Esto es lo que hay, ahora, habria que demostrar que \( img(\phi_{\alpha}) \) es isomorfa a \( F(\alpha) \), no?. Si es asi, como se demuestra?.
Besos.
