Autor Tema: Si \(A\) y \(B\) son idempotentes y permutables, \(AB\) es idempotente

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27 Junio, 2020, 01:06 am
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Vickivictoria

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Que si A es una matriz cuadrada:
A yB son matrices idempotentes y permutables, entonces A.B son idempotentes

27 Junio, 2020, 01:41 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola

Que si A es una matriz cuadrada:
A yB son matrices idempotentes y permutables, entonces A.B son idempotentes

¿Qué has intentado? ¿Qué no se entiende del enunciado?

La demostración es muy sencilla. Si nos mostrás lo que hiciste podemos ayudarte mejor.

Saludos

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Título cambiado de "Demostrar" a "Si \(A\) y \(B\) son idempotentes y permutables, \(AB\) es idempotente".
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27 Junio, 2020, 01:48 am
Respuesta #2

Vickivictoria

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Esto es lo unico que se me ocurrió
\( (A.B).(B.A)=(A.B)^2 \)

27 Junio, 2020, 02:03 am
Respuesta #3

manooooh

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Hola

Esto es lo único que se me ocurrió
\( (A.B).(B.A)=(A.B)^2 \)

Bueno, es un avance.

Hay que demostrar que \( (AB)^2=AB \) (o sea que \( AB \) es idempotente). Para ello conocemos que \( A \) es cuadrada (poco relevante en nuestros pasos pero muy importante para asegurar el resultado), \( A^2=A \), \( B^2=B \) (\( A \) y \( B \) son idempotentes), y además \( AB=BA \) (son permutables).

Entonces partamos de \( (AB)^2 \) y tratemos de llegar a \( AB \).

Como \( (AB)^2=(AB)(AB) \), y además la multiplicación de matrices es asociativa, cambio de lugar los paréntesis y queda \( A(BA)B \), de donde por ser conmutables, \( A(AB)B \). Vuelvo a poner paréntesis como me convenga, \( (AA)(BB) \), obtengo \( A^2B^2 \), y como sabemos que \( A \) y \( B \) son idempotentes, \( A^2B^2=AB \), como queríamos demostrar.

Saludos

27 Junio, 2020, 02:52 am
Respuesta #4

Vickivictoria

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27 Junio, 2020, 09:33 am
Respuesta #5

feriva

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Hola.

Bueno, entiendo que la potencia en general sería “p”; aunque lo mismo da poner un número como 2.

\( A=A^{p}
  \)

\( B=B^{p}
  \)

\( AB=BA\Rightarrow
  \)

\( A^{p}B=B^{p}A
  \)

Multiplicando por la inversa de B a la derecha

\( A^{p}=B^{p}AB^{-1}
  \)

por conmutativa otra vez, podemos hacer

\( A^{p}={\color{blue}AB^{p}}B^{-1}
  \)

\( A^{p}=AB^{p-1}
  \)

Multipicando por la inversa de A a la izquierda

\( A^{p-1}=B^{p-1}
  \)

Luego

\( A=B
  \)

Entonces

\( AB=A^{2}=A
  \)

Es idempotente.

Saludos

27 Junio, 2020, 09:46 am
Respuesta #6

geómetracat

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Cuidado feriva, \( A \) y \( B \) no tienen por qué ser invertibles. La demostración buena (que sirve para cualquier situación) es la de manooooh.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

27 Junio, 2020, 09:53 am
Respuesta #7

feriva

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Cuidado feriva, \( A \) y \( B \) no tienen por qué ser invertibles. La demostración buena (que sirve para cualquier situación) es la de manooooh.

Cierto, no me he dado cuenta. Gracias Geómetracat.

Saludos.