Autor Tema: Demostración línea envolvente a un arco circular.

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26 Junio, 2020, 08:01 pm
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narpnarp

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Buenas tardes.
Tengo un problema con la demostración de un teorema.  :banghead:



Teorema: Un arco circular cualquiera situado dentro del espacio determinado por su cuerda y una línea envolvente es menor que está línea.

De éste se obtiene el corolario que el perímetro de todo polígono circunscrito es mayor que el círculo. El teorema en el que el perímetro de todo polígono inscrito es menor que el círculo es más  fácil de demostrar porque entre dos puntos la distancia más corta es el segmento de recta que los une.
¿Podrían ayudarme? 

26 Junio, 2020, 10:55 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Buenas tardes.
Tengo un problema con la demostración de un teorema.  :banghead:



Teorema: Un arco circular cualquiera situado dentro del espacio determinado por su cuerda y una línea envolvente es menor que está línea.

De éste se obtiene el corolario que el perímetro de todo polígono circunscrito es mayor que el círculo. El teorema en el que el perímetro de todo polígono inscrito es menor que el círculo es más  fácil de demostrar porque entre dos puntos la distancia más corta es el segmento de recta que los une.
¿Podrían ayudarme?

No entiendo bien el enunciado. En el dibujo que has puesto, ¿cuál sería el arco circular, cual su cuerda, cuál la línea envolvente?.

Saludos.

26 Junio, 2020, 11:32 pm
Respuesta #2

narpnarp

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Hola, Luis, \( AB \) es la cuerda, \( ACB \) el arco circular, \( AEDFB \) la línea envolvente y   la línea \( ECF \) es una tangente al arco que se supone debería de ayudar en la demostración.
De lo obvio que se deduce de la imagen es \( AECFB<AEDFB \) porque \( ECF<EDC \).

27 Junio, 2020, 11:18 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Hola, Luis, \( AB \) es la cuerda, \( ACB \) el arco circular, \( AEDFB \) la línea envolvente y   la línea \( ECF \) es una tangente al arco que se supone debería de ayudar en la demostración.
De lo obvio que se deduce de la imagen es \( AECFB<AEDFB \) porque \( ECF<EDC \).

mmmm ¿En qué contexto te surge esta cuestión?¿qué resultados puedes usar? Tengo bastantes dudas de que pueda hacerse una prueba rigurosa sencilla, sin descansar en algún otro resultado intuitivo, pero delicado de probar riguosamente.

Saludos.

27 Junio, 2020, 09:23 pm
Respuesta #4

narpnarp

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Hola, Luis, encontré en internet el libro donde está el ejercicio. Pondré el link al final, lo siguiente es una transcripción literal de la solución.
"Sean \( BCA \) un arco circular y \( AB \) su cuerda.
Demostrar que \( BCA \) es menor que cualquier línea envolvente de \( A \) a \( B \).
Demostración.
De todas las líneas que pueden trazarse entre \( A \) y \( B \) y encierren el área \( ABC \), debe de haber por lo menos una de longitud mínima, puesto que no todas son iguales.
Sea \( ADB \) una línea cualquiera que encierra la superficie \( ACB \).
Esta línea no puede ser la más corta; pues si se traza una tangente cualquiera \( ECF \) al arco \( BCA \),  \( BFCEA \) será menor que \( BFDEA \), puesto que \( FCE<FDE \)       \( 53,3 \).
Se demuestra analogamente que ninguna otra línea envolvente puede ser la más corta
\( \rightarrow{BCA} \) es menor que toda línea envolvente."
\( 53,3 \) es el camino más corto entre dos puntos es la recta que los une.
No me parece claro cómo demuestran el teorema solo demuestran que si se traza una línea envolvente se puede trazar una menor incluyéndole una tangente.
La página es la \( 237 \).
Link https:

Geometría Plana y del Espacio.


28 Junio, 2020, 09:15 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

 Vale, ya entiendo como razona.

Hola, Luis, encontré en internet el libro donde está el ejercicio. Pondré el link al final, lo siguiente es una transcripción literal de la solución.
"Sean \( BCA \) un arco circular y \( AB \) su cuerda.
Demostrar que \( BCA \) es menor que cualquier línea envolvente de \( A \) a \( B \).
Demostración.
De todas las líneas que pueden trazarse entre \( A \) y \( B \) y encierren el área \( ABC \), debe de haber por lo menos una de longitud mínima, puesto que no todas son iguales.
Sea \( ADB \) una línea cualquiera que encierra la superficie \( ACB \).
Esta línea no puede ser la más corta; pues si se traza una tangente cualquiera \( ECF \) al arco \( BCA \),  \( BFCEA \) será menor que \( BFDEA \), puesto que \( FCE<FDE \)       \( 53,3 \).
Se demuestra analogamente que ninguna otra línea envolvente puede ser la más corta
\( \rightarrow{BCA} \) es menor que toda línea envolvente."
\( 53,3 \) es el camino más corto entre dos puntos es la recta que los une.
No me parece claro cómo demuestran el teorema solo demuestran que si se traza una línea envolvente se puede trazar una menor incluyéndole una tangente.

Si, eso es lo que pruebas. Pero después completa así:

Supón que tienes una envolvente de menor longitud que \( ACB \) y supón que entre todas las que cumplen esa propiedad tomas la de mínima longitud. Por la construcción anterior podrías construir una de longitud todavía menor, lo cual contradice esa minimalidad: llegas a un absurdo. Por tanto la suposición de que tienes una envolvente de menor longitud que \( ACB \) es falsa.

Esa es la idea.

Saludos.

29 Junio, 2020, 02:28 am
Respuesta #6

narpnarp

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Hola.
Tengo dudas. No me parece claro dónde está la contradicción.
-¿Por qué no puede tomarse \[ AECFB \] como la menor línea envolvente y luego demostrar que ésta no puede ser la menor línea?
-Todas las líneas envolventes van de \[ A \] a \[ B \] sin tocar el arco, pero cuando se traza la tangente sí lo toca, es decir, ¿la línea \[ AECFB \] califica como envolvente?
-¿Por qué tiene que haber una de menor longitud? No sé si la analogía es válida, pero es como elegir el número más pequeño de dos números reales.
-¿Hay una manera más fácil de demostrarlo?

29 Junio, 2020, 10:20 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola
 Vaya por delante que como te comentaba, no creo que sin apoyarse en otros resultados previos potentes, uno pueda dar una demostración sencilla de este hecho que no descanse en alguna idea intuitiva potente
 
Tengo dudas. No me parece claro dónde está la contradicción.
-¿Por qué no puede tomarse \[ AECFB \] como la menor línea envolvente y luego demostrar que ésta no puede ser la menor línea?

Asumiendo que existe una menor línea evolvente (eso lo preguntas después) se trata de tomar esa para iniciar el razonamiento. No es que no pueda otra. Pero la contradicción se construye tomando la de menor longitud y viendo que se encuentra otra más pequeña.

Citar
-Todas las líneas envolventes van de \[ A \] a \[ B \] sin tocar el arco, pero cuando se traza la tangente sí lo toca, es decir, ¿la línea \[ AECFB \] califica como envolvente?

Se entiende que la envolvente SI puede tocar al arco en uno o más puntos.

Citar
-¿Por qué tiene que haber una de menor longitud? No sé si la analogía es válida, pero es como elegir el número más pequeño de dos números reales.

Esto es más sutil. Puede darse como intuitivo. El conjunto de longitudes está acotado inferiormente y por tanto tiene ínfimo. Es un poco más delicado justificar que tienen mínimo; de hecho no se me ocurre como hacerlo sin apoyarme en otra idea que no sea también de carácter intuitivo (o sin usar artillería pesada).

Citar
-¿Hay una manera más fácil de demostrarlo?

No lo creo. Al contrario.

Saludos.

30 Junio, 2020, 04:41 am
Respuesta #8

narpnarp

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30 Junio, 2020, 07:24 pm
Respuesta #9

martiniano

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Hola.

No sé si sirve de algo, pero lo de demostrar que el perímetro de un polígono circunscrito a una circunferencia es mayor que el perímetro de la circunferencia se puede hacer asumiendo que para ángulos agudos \( \tan\alpha>\alpha \). Esto último se puede demostrar comparando áreas en la circunferencia goniométrica:


Resulta que el área del sector circular \( BAD \) es \( \displaystyle\frac{1}{2}\cdot{}\alpha \), y la del triángulo \( BAC \) es \( \displaystyle\frac{1}{2}\cdot{}\tan\alpha \).

Un saludo.