Autor Tema: Generador infinitesimal

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25 Junio, 2020, 08:41 pm
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alexpglez

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Hola,

He leído en diferentes fuentes, que lo que voy a preguntar es cierto (de hecho dan una caracterización mejor), pero no encuentro demostración. Enlace Teorema 2.62

Sea \( G \) un grupo de Lie que actúa sobre \( S \) suave y efectivamente. Entonces es inyectivo el generador:
$$ \zeta:\mathfrak g \longrightarrow \mathfrak X(S) $$
$$ \zeta(X)_s:=\frac{d}{dt}\Bigg|_{t=0}(\exp(tX)\cdot s) $$
¿?

¿Cuál sería la prueba?

Gracias

PD: No sé insertar hipervínculos  :-\

25 Junio, 2020, 10:54 pm
Respuesta #1

alexpglez

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Me han dicho como probarlo.

Veamos que \( \text{Ker}\zeta=\{0\} \). Si \( \zeta(X)=0 \).

El flujo de \( \zeta(X) \) es \( \beta^s(t)=s \) pues:
$$\beta^s(0)=0 $$
$${\beta^s}'(t)=0_s=\zeta(X)_{\beta^s(t)} $$

Pero a su vez, el flujo también es:
$$\alpha^s(t):=\exp(tX)\cdot s $$

Así pues por unicidad:
$$\exp(tX)\cdot s=s, \;\;\; \forall s \in S, \;\;\; \forall t \in \mathbb R$$
Por efectividad de la acción:
$$\exp(tX)=e, \;\;\; \forall t \in \mathbb R $$
Y derivando otra vez en \( t=0 \):
$$X=0 $$

Gracias otra vez