Autor Tema: Integrales complejas

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25 Junio, 2020, 01:31 am
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S@lvador

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¿Cómo demuestro  que \( \left | \int _{\gamma }\frac{dz}{3+z^2} \right |< \frac{\pi }{3} \) si \( \gamma  \) es el medio círculo superior unitario \( \left |{z}\right |=1 \)?

25 Junio, 2020, 08:59 am
Respuesta #1

geómetracat

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Editado: el argumento original estaba mal.
Spoiler
\( \left | \int _{\gamma }\frac{dz}{3+z^2} \right | \leq \int _{\gamma } \left|\frac{dz}{3+z^2} \right| \leq \max_{z \in \gamma}\left(\left|\frac{1}{3+z^2} \right|\right)L(\gamma) < \frac{\pi }{3} \)
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Puedes usar que la función \( \frac{1}{3+z^2} \) es holomorfa en \( \Bbb C -\{-\sqrt{3}i, \sqrt{3}i\} \) y que la curva \( \gamma \) (semicírculo superior) es homótopa a \( \eta \), el segmento de recta que una \( 1 \) con \( -1 \) (por el eje real), en \( \Bbb C -\{-\sqrt{3}i, \sqrt{3}i\} \), de manera que:
\( \int _{\gamma }\frac{dz}{3+z^2} = \int _{\eta}\frac{dz}{3+z^2} \)

Y ahora sí que podemos aplicar el argumento que había puesto:
\( \left | \int _{\eta }\frac{dz}{3+z^2} \right | \leq \int _{\eta} \left|\frac{dz}{3+z^2} \right| \leq \max_{z \in \eta}\left(\left|\frac{1}{3+z^2} \right|\right)L(\eta) = \frac{2 }{3} < \frac{\pi}{3} \).

Fíjate que así se obtiene una cota de \( \frac{2}{3} \), mejor que la propuesta.

También puedes calcular directamente la integral original, parametrizando la curva como \( \gamma(t)=e^{it} \) con \( 0 \leq t \leq \pi \). El resultado de la integral es \( - \frac{\pi}{3\sqrt{3}} \approx -0.6046 \).

O la puedes calcular directamente usando \( \eta \), parametrizada como \( \eta(t)=1-t \) con \( 0 \leq t \leq 2 \), que da el mismo resultado.


La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)