Autor Tema: Contraejemplo de convergencia en Distribución pero no en Probabilidad

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24 Junio, 2020, 06:39 pm
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RickSal

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Buen día, tengo la siguiente proposición: Si \( X_{n}\longrightarrow{_D}X \) entonces ¿\( X_{n}\longrightarrow{\mathbb{_P}}X \)? Demostrar o dar un contraejemplo. Por lo que sé la proposición es verdadera cuando se tiene como hipótesis que \( \mathbb{P}(X=c)=1 \) para algún número real \( c \), entonces la proposición es falsa pero no logro encontrar algún contraejemplo.

Saludos!

24 Junio, 2020, 07:52 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Esto es lo más sencillo que se me ocurre (más bien lo único que se me ocurre, no sé si habrá algo más simple que esto): sea una sucesión \( \{X_n\}_{n\in \mathbb N} \) de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución de Bernoulli \( \mu _n:= \frac1{2}\delta _0+\frac1{2}\delta _1 \) para cada \( n\in \mathbb N  \), entonces se tiene que \( X_n\xrightarrow{\rm dist.}X_1 \) trivialmente pero \( \{X_n\}_{n\in \mathbb N} \) no converge en medida a \( X_1 \) ya que para \( t\in(0,1) \) tenemos que

\( \displaystyle{
\Pr [|X_1-X_k|>t]=\Pr [X_1=1\,\land\, X_k=0]+\Pr [X_1=0\,\land\, X_k=1]=\frac1{4}+\frac1{4}=\frac1{2}
} \)

para todo \( k>1 \).

La única dificultad en este contra-ejemplo es saber o demostrar que una sucesión así existe, no recuerdo con exactitud la formulación pero era algo así como que el producto contable de espacios de probabilidad es otro espacio de probabilidad, por ejemplo en este caso podemos tomar \( \Omega :=\{0,1\}^{\mathbb N },\, \Pr := \prod_{n\geqslant 1}\mu_n \) y cada \( X_k \) la proyección canónica en la coordenada \( k \).

24 Junio, 2020, 09:32 pm
Respuesta #2

RickSal

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Esto es lo más sencillo que se me ocurre (más bien lo único que se me ocurre, no sé si habrá algo más simple que esto): sea una sucesión \( \{X_n\}_{n\in \mathbb N} \) de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución de Bernoulli \( \mu _n:= \frac1{2}\delta _0+\frac1{2}\delta _1 \) para cada \( n\in \mathbb N  \), entonces se tiene que \( X_n\xrightarrow{\rm dist.}X_1 \) trivialmente pero \( \{X_n\}_{n\in \mathbb N} \) no converge en medida a \( X_1 \) ya que para \( t\in(0,1) \) tenemos que

\( \displaystyle{
\Pr [|X_1-X_k|>t]=\Pr [X_1=1\,\land\, X_k=0]+\Pr [X_1=0\,\land\, X_k=1]=\frac1{4}+\frac1{4}=\frac1{2}
} \)

para todo \( k>1 \).

La única dificultad en este contra-ejemplo es saber o demostrar que una sucesión así existe, no recuerdo con exactitud la formulación pero era algo así como que el producto contable de espacios de probabilidad es otro espacio de probabilidad, por ejemplo en este caso podemos tomar \( \Omega :=\{0,1\}^{\mathbb N },\, \Pr := \prod_{n\geqslant 1}\mu_n \) y cada \( X_k \) la proyección canónica en la coordenada \( k \).

Muchas gracias!