Autor Tema: Densidad de los números irracionales en los reales.

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23 Junio, 2020, 06:09 pm
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JoanL

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Hola a todos y todas.
Estoy viendo introducción a los números reales y estoy viendo la densidad de estos. Entonces dividí a los reales en dos subconjuntos: los racionales y los irracionales.
\( \textrm{Sean }a,b\in{}\mathbb{R}\textrm{, con }a<b \) (así empecé)
Son cuatro casos en cada subgrupo: cuando \( a \),\( b\in{}\mathbb{Q} \), \( a\in{}\mathbb{Q} \) y \( b\in{}\mathbb{I} \), \( a\in{}\mathbb{I} \) y \( b\in{}\mathbb{Q} \), y finalmente cuando \( a \),\( b\in{}\mathbb{I} \)
Ya demostré, con ayuda del axioma de completez (completitud), y especialmente con la propiedad arquimediana, que los racionales son densos en los reales.
Sin embargo, hay un caso en la demostración de la densidad de los irracionales en los reales, que es cuando dos números, a y b, pertenencen a los racionales. La verdad no sé cómo demostrar que hay un irracional entre dos racionales.
Les agradecería mucho su ayuda.
Saludos. 

23 Junio, 2020, 06:16 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Una idea: si \( a<b \) son ambos racionales, entonces \( a+\sqrt{2}/n \) para algún \( n \) natural suficientemente grande será un irracional entre \( a \) y \( b \). Imponiendo que \( a+\sqrt{2}/n<b \) puedes encontrar un valor apropiado de \( n \) en función de \( a \) y \( b \).

Además esta idea sirve si \( a \) es racional, independientemente de si \( b \) es racional o no.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Junio, 2020, 07:13 pm
Respuesta #2

feriva

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Sin embargo, hay un caso en la demostración de la densidad de los irracionales en los reales, que es cuando dos números, a y b, pertenencen a los racionales. La verdad no sé cómo demostrar que hay un irracional entre dos racionales.
Les agradecería mucho su ayuda.
Saludos.


Perdona, te había entendido mal, creí que decías que en medio había un racional; lo del spoiler no vale

Spoiler
Mira a ver de esta forma si te vale.

Toma a,b,c,d enteros distintos de cero con \( \dfrac{a}{b}\approx\dfrac{c}{d}
  \), \( \dfrac{a}{b}>\dfrac{c}{d}
  \).

Existe algún entero “n” tal que \( \dfrac{c}{d}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{a}{b}
  \).

Entonces existe \( \dfrac{c}{d}<\dfrac{c}{d}+\dfrac{1}{n+1}<\dfrac{a}{b}
  \)

Y \( n+1 \) es igualmente entero por la propiedad de cerradura algebraica, por lo que \( \dfrac{1}{n+1}\in\mathbb{Q}
  \). Y por la misma propiedad, entonces, existe \( \dfrac{c}{d}+\dfrac{1}{n+1}\in\mathbb{Q}
  \).

[cerrar]


Ah, si ya te había dicho Geómetracat, no lo había visto.

Te añado en otro spoiler una demostración medio intuitiva, que no te admitirían, creo, pero que sirve para ver que es verdad y para sugerir la idea de una prueba formal.


Spoiler

Representa dos números racionales cualesquiera muy parecidos; da igual los que sean, en general el funcionamiento será el mismo

\( q=6,445678...5 \)

\( r=6,445678...4 \)

Entonces \( q>r
  \).

Siempre podremos construir un racional intermedio añadiendo unas cifras más

\( s=6,445678...401 \)

\( r<s<q
  \).

Ahora, es trivial que podemos añadir infinitas cifras detás de la última de “s” y conseguir que el número no seá periódico; y también es tirivial que ese número seguirá estándo entre “r” y “q”.

[cerrar]

Saludos.

23 Junio, 2020, 09:12 pm
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

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otra version (muy parecida) de lo que propuso geómetracat.

Sean \(  0 \leq a < b  \) existe un \( n_0 \in \mathbb{N}  \) tal que \( \dfrac{\sqrt{2}}{n_0} < b-a  \)

Sea \( m_0 \in \mathbb{N} \cup \{0\}  \) el natural más grande que verifica \( \dfrac{m_0}{n_0} \cdot \sqrt{2} \leq a  \) seguro que existen elementos así por que tenemos \( m = 0 \) y \( 0 \leq a  \).
Entonces \( \dfrac{m_0+1}{n_0} \cdot \sqrt{2} > a  \) en este caso tenemos:

\(  a < \dfrac{m_0 + 1}{n_0} \cdot \sqrt{2} = \dfrac{m_0}{n_0} \cdot \sqrt{2} + \dfrac{1}{n_0} \cdot \sqrt{2} < a + (b-a) = b  \)

Si \(  a < 0 < b  \) aplicamos el caso anterior a \(  0<b \) y si \( a<b\leq 0  \) aplicamos otra vez el primer caso con \(  0 \leq -b < -a  \)