Autor Tema: Homomorfismos

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22 Junio, 2020, 07:09 pm
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serbofsot

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Hola,
Cuantos homomorfismos existen del grupo \( \mathbb{Z} \times \mathbb Z \times \mathbb Z\longrightarrow{\mathbb Z/8\mathbb Z} \)
gracias por su ayuda.

22 Junio, 2020, 10:32 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola,
Cuantos homomorfismos existen del grupo \( \mathbb{ZxZxZ}\longrightarrow{Z/8Z} \)
gracias por su ayuda.

Un homomorfismo desde  \( \mathbb{ZxZxZ} \) queda inequívocamente determinado por la imagen de los tres generadores \( (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1). \) Además por ser elementos de orden dos, la imagen de tales generadores debe de ser de orden dos (o nula). Así las posibles imágenes de los mismos son \( 0 \) o \( 4 \) (dos opciones para cada uno). Tienes así \( 2^3=8 \) posibles homomorfismos.


¡OJO!. Lo que está en rojo sería si trabajásemos desde \( \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2 \).

En  \( \mathbb{ZxZxZ} \) los generadores tienen orden infinito, por tanto la imagen de cada uno de ellos puede ser cualquier elemento de \( \Bbb Z/8\Bbb Z \), es decir, hay \( 8 \) posibilidades para cada una de ellas: \( 8^3 \) homomorfismos.

Saludos.

CORREGIDO y AÑADIDO

23 Junio, 2020, 02:54 am
Respuesta #2

Gustavo

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Hola. Creo que Luis pensó en \( (\mathbf Z/2\mathbf Z)^3 \) en vez de \( \mathbf Z^3. \) Los generadores tienen orden infinito.

Comprueba que cualquier elección en \( \mathbf Z/8\mathbf Z \) para cada uno de los generadores te da un homomorfismo.

23 Junio, 2020, 08:08 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Hola. Creo que Luis pensó en \( (\mathbf Z/2\mathbf Z)^3 \) en vez de \( \mathbf Z^3. \) Los generadores tienen orden infinito.

¡Tal cuál!. No sé porque se me metió en la cabeza que era desde \( \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2 \).

Ya lo he corregido.

Saludos.

23 Junio, 2020, 12:39 pm
Respuesta #4

serbofsot

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Buenos días,
Gracias por sus aportaciones.
Tengo una duda...

Citar
Un homomorfismo desde  \( \mathbb{ZxZxZ} \) queda inequívocamente determinado por la imagen de los tres generadores \( (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1). \) Además por ser elementos de orden dos, la imagen de tales generadores debe de ser de orden dos (o nula). Así las posibles imágenes de los mismos son \( 0 \) o \( 4 \) (dos opciones para cada uno). Tienes así \( 2^3=8 \) posibles homomorfismos.


¡OJO!. Lo que está en rojo sería si trabajásemos desde \( \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2 \).

En  \( \mathbb{ZxZxZ} \) los generadores tienen orden infinito, por tanto la imagen de cada uno de ellos puede ser cualquier elemento de \( \Bbb Z/8\Bbb Z \), es decir, hay \( 8 \) posibilidades para cada una de ellas: \( 8^3 \) homomorfismos.

Saludos.

CORREGIDO y AÑADIDO

El orden de las imágenes de los elementos del sistema generador de \( \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2 \) divide al orden de los elementos del sistema generador.en este caso,el orden de los elementos es 2 y el orden de las imágenes (creo) que no puede ser 2 ya que la aplicación no es inyectiva.
Por tanto,el orden de las imágenes ha de ser 1 y entonces sólo hay una posible imagen,el 0.
Habría entonces 1 sólo homomorfismo?
Cordialmente

Creo que me he colado...si la aplicación no es inyectiva,el orden de las imágenes si que puede ser 2
Si fuera inyectiva entonces es cuando sólo podría ser 2

Cordialmente

23 Junio, 2020, 04:51 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Creo que me he colado...si la aplicación no es inyectiva,el orden de las imágenes si que puede ser 2
Si fuera inyectiva entonces es cuando sólo podría ser 2

Si, exacto.

Saludos.