Autor Tema: Ejercicio Bases Algebra Lineal

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22 Junio, 2020, 02:35 pm
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Quema

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Si \( U=\left\{{u,v,w}\right\} \) es base de \( R^3 \) y \( \left |{z}\right |_U=(3,-2,2) \) y define \( V=\left\{{u,v,z}\right\} \)

Pide hallar \( \left |{u}\right |_U, \left |{u}\right |_V,\left |{w}\right |_V \). En el primer caso, puede ser que sea \( (1,0,0), \) en el segundo \( (-4,2,-2) \) y en el tercero \( (-3,2,-3). \)

22 Junio, 2020, 03:15 pm
Respuesta #1

manooooh

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Hola

Debe haber algún error en el enunciado porque \( w\notin V \). Revisalo.

Saludos

22 Junio, 2020, 03:26 pm
Respuesta #2

Quema

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Como que no, el vector \( z \) en las coordenadas de la base \( U \) es \( (3,-2,2), \) el ejercicio pide probar que \( V \) es también base de \( R^3 \) y eso creo que se prueba haciendo que:

para todo \( x \in R^3 \) tenemos que

\( x=a_1u+a_2v+a_3z=(a_1+3a_3)u+(a_2-2a_3)v+2a_3w \) entonces como \( U \) es base de \( R^3 \) también lo será \( V \) (creo que me falta una explicación un poco más técnica).

22 Junio, 2020, 04:38 pm
Respuesta #3

Masacroso

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Si \( U=\left\{{u,v,w}\right\} \) es base de \( R^3 \) y \( \left |{z}\right |_U=(3,-2,2) \) y define \( V=\left\{{u,v,z}\right\} \)

Pide hallar \( \left |{u}\right |_U, \left |{u}\right |_V,\left |{w}\right |_V \). En el primer caso, puede ser que sea \( (1,0,0), \) en el segundo \( (-4,2,-2) \) y en el tercero \( (-3,2,-3). \)

No entiendo la notación, ¿qué significa \( |z|_U=(3,-2,2) \), quizá significa que \( z=3u-2v+2w \)?

22 Junio, 2020, 06:25 pm
Respuesta #4

delmar

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Hola

Como que no, el vector \( z \) en las coordenadas de la base \( U \) es \( (3,-2,2), \) el ejercicio pide probar que \( V \) es también base de \( R^3 \) y eso creo que se prueba haciendo que:

para todo \( x \in R^3 \) tenemos que

\( x=a_1u+a_2v+a_3z=(a_1+3a_3)u+(a_2-2a_3)v+2a_3w \) entonces como \( U \) es base de \( R^3 \) también lo será \( V \) (creo que me falta una explicación un poco más técnica).


Eso sería verdad siempre y cuando V sea una base de \( R^3 \); pero en este caso eso es precisamente lo que se tiene que demostrar. Una forma es demostrar que V es Linealmente independiente es decir que \( \left\{{u,v,z}\right\} \) son LI. ¿Cómo? averiguando como son las constantes que hacen nula la combinación lineal de estos tres elementos :

\( C_1 \ u+C_2 \ v+C_3 \ z=O\Rightarrow{C_1 \ u+C_2 \ v+C_3 \ (3u-2v+2w)=(C_1+3C_3)u+(C_2-2C_3)v+2C_3 \ w=O} \) Ec. A

Por ser u,v,w LI, la única combinación lineal de estos elementos que se corresponde con el elemento nulo O es :\( 0u+0v+0w=O \) en consecuencia por la Ec. A se implica :

\( C_1+3C_3=0 \)

\( C_2-2C_3=0 \)

\( 2C_3=0 \)

De estas ecuaciones se concluye que las únicas constantes que se corresponden con una combinación lineal de los elementos de V igual al  elemento nulo O son \( C_1=C_2=C_3=0 \), en consecuencia V es  LI y es una base de \( R^3 \)

Solamente para complementar ¿Cómo hallar las componentes de \( \left |{w}\right |_V \)?

Se tiene : \( w=C_1u+C_2v+C_3(3u-2v+2w)\Rightarrow{(C_1+3C_3)u+(C_2-2C_3)v+(2C_3-1) \ w=O} \)

Nuevamente por ser U, LI esto se cumplirá únicamente cuando :

\( C_1+3C_3=0 \)

\( C_2-2C_3=0 \)

\( 2C_3-1=0 \)

Las constantes por definición son las componentes buscadas.

Saludos

Corregido, gracias a Orientation

22 Junio, 2020, 08:28 pm
Respuesta #5

Quema

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Si \( A=\left\{{u_1,u_2,u_3}\right\} \) es base de \( R^3 \) y defino \( v=u_1-u_2 \) entonces

i) Es \( \left\{{u_1,u_2,v}\right\} \) generador de \( R^3 \)
ii) Es \( \left\{{2u_1,3u_2,v}\right\} \) base de \( R^3 \)

22 Junio, 2020, 08:49 pm
Respuesta #6

delmar

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i) No es generador de \( R^3 \), demostrando :

Suponiendo que fuera generador de \( R^3 \) en ese caso \( u_3=C_1u_1+C_2u_2+C_3v \), en otras palabras es una combinación lineal de los tres elementos considerados; pero considerando la definición de v se tiene :

\( u_3=C_1u_1+C_2u_2+C_3(u_1-u_2)\Rightarrow{(C_1+C_3)u_1+(C_2-C_3)u_2-u_3=O} \) Ec. 1

Por ser A,  LI, las únicas constantes que se corresponden con una combinación lineal nula de los elementos de A, son  \( 0u_1+0u_2+0u_3=O \), esto es un absurdo, se ve en la Ec. 1, que la constante relacionada con \( u_3 \) es \( -1\neq 0 \). Por lo tanto no lo genera.

ii) Se puede demostrar de una manera semejante que no genera y si no genera evidentemente no puede ser base.

Saludos

24 Junio, 2020, 11:49 am
Respuesta #7

Orientation

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\( U= \left\{ \vec{u};\vec{v};\vec{w} \right\}  \), \( V= \left\{ \vec{u};\vec{v};\vec{z} \right\}  \),
luego: \( \left |\vec{u}\right |_U \) \( = 1 \vec{u} + 0 \vec{v} + 0 \vec{w} = (1;0;0)  \) y \( \left |\vec{u}\right |_V \) \( = 1 \vec{u} + 0 \vec{v} + 0 \vec{z} = (1;0;0)  \)

Las coordenadas del vector u con respecto a la base V son las mismas que con respecto a la base U, puesto que tambien pertenece a V, donde ocupa la misma posicion que en U.

No podemos determinar las coordenadas del vector w referido con respecto a la base V directamente porque no pertenece a esta, pero si pertenece a base U: \( \left |\vec{w}\right |_U \) \( = 0 \vec{u} + 0 \vec{v} + 1 \vec{w} = (0;0;1)  \)

Si a \( \left |\vec{w}\right |_U \) lo multiplicamos por la matriz Pasaje de U a V, entonces vamos a obtener las coordenadas del vector w referidas a V, tal que: \( (\vec{w}_V \)\( ) \) \( = \) \( ( \)\( P \)\( _U \)\( _\rightarrow{} \)\( _V \)\( ) \) \( . \) \( (\vec{w}_U \)\( ) \) escrito los vectores en la forma de matriz columna de orden 3x1.

El problema es que no tenemos la matriz \( ( \)\( P \)\( _U \)\( _\rightarrow{} \)\( _V \)\( ) \), aunque si podemos calcular \( ( \)\( P \)\( _V \)\( _\rightarrow{} \)\( _U \)\( ) \) y obtener luego la inversa que es la matriz que necesitamos.

Para formar la matriz cambio de base de V a U escribimos a los vectores de V como combinacion lineal de los vectores de la base U y expresamos sus coordenadas en forma de vectores columna, luego juntamos los mismos y obtenemos la matriz:

\( \left |\vec{u}\right |_U \) \( = 1 \vec{u} + 0 \vec{v} + 0 \vec{w} = (1;0;0)  \)
\( \left |\vec{v}\right |_U \) \( = 0 \vec{u} + 1 \vec{v} + 0 \vec{w} = (0;1;0)  \)
\( \left |\vec{z}\right |_U \) \( = 3 \vec{u} + -2 \vec{v} + 2 \vec{w} = (3;-2;2)  \)

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2  \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \(  \)

Mediante el metodo de Gauss-Jordan obtenemos la inversa, es decir: \( ( \)\( P \)\( _U \)\( _\rightarrow{} \)\( _V \)\( ) \) \( = \) \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3/2 \\ 0 & 1 & 1  \\ 0 & 0 & 1/2 \end{pmatrix} \(  \)

Hacemos el producto matricial: \( ( \)\( P \)\( _U \)\( _\rightarrow{} \)\( _V \)\( ) \) \( . \) \( (\vec{w}_U \)\( ) \) \( = \) \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3/2 \\ 0 & 1 & 1  \\ 0 & 0 & 1/2 \end{pmatrix} \( . \) \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} y obtenemos: \( \left |\vec{w}\right |_V \) \( = \) \begin{pmatrix}-3/2\\1\\1/2\end{pmatrix}



Solamente para complementar ¿Cómo hallar las componentes de \( \left |{w}\right |_V \)?

Se tiene : \( w=C_1u+C_2v+C_3(3u-2v+2w)\Rightarrow{(C_1+3C_3)u+(C_2-2C_3)v+(2C_3-1) \ w=O} \)

Nuevamente por ser V, LI esto se cumplirá únicamente cuando :

\( C_1+3C_3=0 \)

\( C_2-2C_3=0 \)

\( 2C_3-1=0 \)

Las constantes por definición son las componentes buscadas.

Saludos
Que V sea linealmente independiente nada tiene que ver con las componentes del vector w referidas a dicha base.

24 Junio, 2020, 12:46 pm
Respuesta #8

geómetracat

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Otra solución, quizás más sencilla, que creo que no se ha mencionado:
\( z=3u-2v+2w \), luego \( w=-\frac{3}{2}u + v +\frac{1}{2} z \).
Es decir, \( |{\color{red}w}|_V = \left(-\frac{3}{2},1,\frac{1}{2} \right) \).

Corregido. Gracias delmar.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

24 Junio, 2020, 06:52 pm
Respuesta #9

delmar

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Un pequeño error tipográfico en la solución de geómetracat es \( \left |{w}\right |_V=(\frac{-3}{2},1,\frac{1}{2}) \) y en efecto es una solución muy sencilla, digamos conceptual.

Saludos

24 Junio, 2020, 07:01 pm
Respuesta #10

geómetracat

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Uy sí, gracias. Ahora lo corrijo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

24 Junio, 2020, 07:20 pm
Respuesta #11

delmar

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Solamente para complementar ¿Cómo hallar las componentes de \( \left |{w}\right |_V \)?

Se tiene : \( w=C_1u+C_2v+C_3(3u-2v+2w)\Rightarrow{(C_1+3C_3)u+(C_2-2C_3)v+(2C_3-1) \ w=O} \)

Nuevamente por ser V, LI esto se cumplirá únicamente cuando :

\( C_1+3C_3=0 \)

\( C_2-2C_3=0 \)

\( 2C_3-1=0 \)

Las constantes por definición son las componentes buscadas.

Saludos
Que V sea linealmente independiente nada tiene que ver con las componentes del vector w referidas a dicha base.

En efecto, ahí hay un error tipográfico en lugar de V es U, ya lo corrijo.

Saludos