Autor Tema: Métrica definida a partir de dos propiedades.

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21 Junio, 2020, 04:57 am
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ASamuel

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Hola que tal, quisiera que me ayudaran con lo siguiente:

Si \( X \) es un conjunto no vació y \( d:X \times X \rightarrow \mathbb{R} \) tiene las siguientes propiedades:

1.- \( d(x,y)=0 \) si y solo si \( x=y \)
2.- \( d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y) \)

Demostrar que \( d \) define una métrica sobre \( X \)

Yo conozco un resultado similar, pero que cambia la propiedad 2 por lo siguiente:

2.- \( d(x,y) \leq d(x,z)+d(y,z) \)

Con la propiedad 2 dada de esta forma, me es claro ver como demostrar las propiedades de \( d(x,y)\geq 0 \) y \( d(x,y)=d(y,x) \), pero con la del enunciado, no.
 
He tratado de demostrarla con las 2 propiedades que pone el enunciado, pero no he podido concluir nada para demostrar las dos propiedades restantes y he llegado a pensar que con esas 2 propiedades no basta para definir una métrica, pero tampoco he encontrado un contraejemplo.

Les agradeceria mucho su ayuda, de antemano gracias.

21 Junio, 2020, 09:30 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola que tal, quisiera que me ayudaran con lo siguiente:

Si \( X \) es un conjunto no vació y \( d:X \times X \rightarrow \mathbb{R} \) tiene las siguientes propiedades:

1.- \( d(x,y)=0 \) si y solo si \( x=y \)
2.- \( d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y) \)

Demostrar que \( d \) define una métrica sobre \( X \)

Si tomas \( X=\{1,2\} \) y \( d(1,1)=d(2,2)=0 \), \( d(1,2)=1, d(2,1)=2 \), se cumplen esas dos propiedades y no es una métrica, porque \( d(1,2)\neq d(2,1) \).

Saludos.

21 Junio, 2020, 06:27 pm
Respuesta #2

ASamuel

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Si tomas \( X=\{1,2\} \) y \( d(1,1)=d(2,2)=0 \), \( d(1,2)=1, d(2,1)=2 \), se cumplen esas dos propiedades y no es una métrica, porque \( d(1,2)\neq d(2,1) \).



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