Autor Tema: E.v.p.i, base ortonormal

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

20 Junio, 2020, 09:12 pm
Leído 93 veces

Jorge_SM

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 23
  • País: mx
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Sea V un espacio vectorial con producto interno y {𝑣1, … , 𝑣𝑛 } una base ortonormal,
demuestra que:

Si \( v=\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i} \) y \( w=\sum_{i=1}^{n}\beta  _{i}v_{i} \) entonces \( \left \langle v,w \right \rangle=\sum_{i=1}^{n}\alpha   _{i}\bar{\beta }_{i}  \)

20 Junio, 2020, 10:13 pm
Respuesta #1

delmar

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,161
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Sencillamente aplica las propiedades del producto interno complejo.

Distributividad implica :
\( \left<{v,w}\right>=\left<{v,\sum_{k=1}^n{\beta_k \ v_k}}\right>=\sum_{k=1}^n{\left<{v, \beta_k \ v_k}\right>}=\sum_{k=1}^n{\left<{\sum_{i=1}^n{\alpha_i \ v_i},\beta_k \ v_k}\right>} \)

Simetría herminitana,  homogenidad y conjugado de un producto implica :

\( \left<{v,w}\right>=\sum_{k=1}^n{\overline{\left<{\beta_k \ v_k,\sum_{i=1}^n{\alpha_i \ v_i}}\right>}}=\sum_{k=1}^n{\overline{\beta_k} \ \overline{\left<{v_k,\sum_{i=1}^n{\alpha_i \ v_i}}\right>}} \)

Distributividad implica :

\( \left<{v,w}\right>=\sum_{k=1}^n{\overline{\beta_k} \ \overline{\sum_{i=1}^n{\left<{v_k,\alpha_i \ v_i}\right>}}} \)

Simetría hermitiana y conjugado de una suma implican :

\( \left<{v,w}\right>=\sum_{k=1}^n{\overline{\beta_k} \ \sum_{i=1}^n{\left<{\alpha_i \ v_i,v_k}\right>}} \)

En este punto al aplicar homogenidad al producto interno se tiene : \( \left<{\alpha_i \ v_i,v_k}\right>=\alpha_i\left<{v_i,v_k}\right> \)

Teniendo en cuenta por la ortonormalidad :

\( \left<{v_i,v_k}\right>=0 \) si \( i\neq k \)

\( \left<{v_i,v_k}\right>=1 \) si i=k

Creo que ya puedes avanzar y terminar.
Saludos