Autor Tema: Factorización única en el anillo de polinomios.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

20 Junio, 2020, 04:39 pm
Leído 218 veces

S.S

  • Novato
  • Mensajes: 112
  • País: co
  • Karma: +0/-0
Hola a todos.
Quise hacer la prueba del siguiente hecho pero me tope con algo.

Sea \( F \) un campo. Entonces cualquier polinomio en \( F[x] \) puede ser escrito de una manera única como producto de irreducibles.
 
Inicie así. Sea \( p(x) = \prod_{i=1}^{n}q_{i}(x) = \prod_{i=1}^{n}r_{i}(x) \) donde \( r_{i} \) y \( q_{i} \) son irreducibles.

Quise usar el hecho siguiente: Si \( p \) es primo en un dominio euclidiano \( R \), entonces si \( p\mid \prod_{i=1}^{n}a_{i} \) entonces p divide a alguno de los \( a_{i} \). Pero no estoy seguro como usarlo si no sé que irreducible sea primo en el dominio euclidiano \( F[x] \) ya que para ser primo en Herstein  en un dominio \( R \) me piden que el no sea unidad y creo que los irreducibles en \( F[x] \) pueden llegar a ser unidades.

20 Junio, 2020, 09:27 pm
Respuesta #1

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,694
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
En cualquier dominio euclídeo (o más en general en cualquier dominio de ideales principales) los elementos irreducibles coinciden con los primos. Por otro lado, un irreducible no puede ser una unidad, por definición.

Quizás lo que te confunda es que la factorización de polinomios en elementos irreducibles es única salvo unidades, es decir, puedes encontrar dos factorizaciones en irreducibles distintas, pero ambas diferirán únicamente en una unidad.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Junio, 2020, 04:34 am
Respuesta #2

S.S

  • Novato
  • Mensajes: 112
  • País: co
  • Karma: +0/-0
Hola geómetracat, gracias por la respuesta.

Es que lo que pienso es que la definición en \( F[x] \)  dice que \( p(x) \) es irreducible si y sólo si \( p(x)= a(x)b(x) \) entonces \( grad(a(x)) = 0 \) o \( grad(b(x)) = 0 \).

Pero entonces eso me lleva a creer que por ejemplo si tomo \( p(x) = b  \), \( b \neq {0} \) y  \( p(x) = 1\cdot{b} \), así \( p(x) \) seria irreducible. Pero \( F \) es cuerpo, entonces \( b \) es una unidad.

En Herstein no le piden al irreducible no ser unidad y según el ejemplo las unidades son irreducibles.

23 Junio, 2020, 08:49 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,026
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Es que lo que pienso es que la definición en \( F[x] \)  dice que \( p(x) \) es irreducible si y sólo si \( p(x)= a(x)b(x) \) entonces \( grad(a(x)) = 0 \) o \( grad(b(x)) = 0 \).

Pero entonces eso me lleva a creer que por ejemplo si tomo \( p(x) = b  \), \( b \neq {0} \) y  \( p(x) = 1\cdot{b} \), así \( p(x) \) seria irreducible. Pero \( F \) es cuerpo, entonces \( b \) es una unidad.

En Herstein no le piden al irreducible no ser unidad y según el ejemplo las unidades son irreducibles.

En la edición del Álgebra Abstracta de Herstein que he podido encontrar en todo momento (definición y propiedades) cuando habla de polinomio irreducible establece como hipótesis que es un polinomio de grado positivo, con lo cual excluye la posibilidad de que sea una unidad (grado cero).

Saludos.

23 Junio, 2020, 02:55 pm
Respuesta #4

S.S

  • Novato
  • Mensajes: 112
  • País: co
  • Karma: +0/-0
Hola Luis. Gracias por su respuesta.
No se si estoy descontenxtualizando las cosas entonces. Estoy siguiendo la segunda edición de Herstein y textualmente esta así la definición:

A polynomial \( p(x) \) in \( F[x] \) is said to be irreducible over F if whenever \( p(x) = a(x)b(x) \) with \( a(x), b(x)
 \in F[x] \), then one of a(x) or b(x) has degree 0 (i.e., is a constant).

La verdad si quisiera saber en que parte se dice lo de las unidades, ya que esto me ayudaría a mejorar la lectura de los textos. Gracias.

23 Junio, 2020, 04:43 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,026
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

A polynomial \( p(x) \) in \( F[x] \) is said to be irreducible over F if whenever \( p(x) = a(x)b(x) \) with \( a(x), b(x)
 \in F[x] \), then one of a(x) or b(x) has degree 0 (i.e., is a constant).

Pues si, en "Topics in Álgebra" segunda edición, viene como dices. Está mal; ha olvidado ese detalle de excluir las unidades. En la tercera edición titulada "Abstract Algebra" ya viene bien.

Saludos.

23 Junio, 2020, 08:41 pm
Respuesta #6

S.S

  • Novato
  • Mensajes: 112
  • País: co
  • Karma: +0/-0
Hola, Gracias por la respuesta.
Siendo así (que se le pida al polinomio que no sea una unidad) ya no queda difícil decir.

Si \( F \) es un campo y \( p(x) \in F[x] \). Entonces \( P(x) \) es irreducible si y solo si \( P(x) \) es primo.

Una última cosa es: ¿Las unidades en \( F[x] \) son solo los polinomios de grado cero, excluyendo al polinomio nulo?

23 Junio, 2020, 11:46 pm
Respuesta #7

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,694
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Una última cosa es: ¿Las unidades en \( F[x] \) son solo los polinomios de grado cero, excluyendo al polinomio nulo?

Sí. Por un lado todas esas son claramente unidades (por ser \( F \) campo), y por otro lado si \( p(x) \) es un polinomio de grado positivo, al multiplicar por cualquier otro polinomio no nulo te dará un polinomio de grado positivo, luego no puede ser \( 1 \) que es de grado \( 0 \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

24 Junio, 2020, 02:07 am
Respuesta #8

S.S

  • Novato
  • Mensajes: 112
  • País: co
  • Karma: +0/-0