[Pa]

Hola
En un ejemplo consideran el espacio vectorial de todas las funciones reales continuas. Y piden determinar si los vectores \( v=e^x, u=\sen x, w=\cos x \) son linealmente independientes.
Lo que hacen es darle valores particulares a x y formar un sistema de ecuaciones 3x3, no me queda claro por qué se puede hacer eso, ¿no debería ser para cualquier x en general?

[delmar]

Hola

La razón, se encuentra en el significado de independencia lineal :

v,u,w son LI si y solo si existen \( C_1,C_2,C_3 \) constantes únicas tal que \( C_1v+C_2u+C_3w=0, \ \forall{x}\in{R} \)

Al ser válidas para todo x real, han de ser válidas para valores particulares, la validez para cada valor particular implica una condición que han de cumplir las constantes, es como un filtro y en este caso tres filtros serán suficientes, para demostrar que únicamente, \( C_1=0,C_2=0,C_3=0 \) cumplen para todo x. Como  ejemplo de valores particulares se tiene \( 0,\frac{\pi}{2},\frac{-\pi}{2} \)


Saludos

[Pa]

Aún sigo confundida.
Para probar que cumple para todo \( x \) no sería tomar algo general? Si me dijeran sobre la existencia de algunos \( x \) si tomo los valores particulares ¿no?
Porque puede ser que esos 3 valores particulares de \( x \) si me satisfagan la definición de independencia lineal pero eso no me asegura que exista algún \( x \) para el cual las constantes no son necesariamente cero.

[delmar]

Es que \( C_1=0,C_2=0,C_3=0 \) cumplen para todo \( x\in{R} \)

Saludos

[Pa]

Vale, ya entendí.
Muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 Para completar la idea, si por el contrario dieses tres valores a \( x \) y llegases a un sistema de tres ecuaciones con solución distinta de la trivial, eso NO llegaría para afirmar que son dependientes; simplemente te indicaría una posible relación de dependencia pero tendrías que ver si es cierta para todo \( x \).

 Fíjate que eso es distinto de lo que plante delmar; porque si da un sistema que tiene como única solución la trivial, se prueba que esa (las constantes nulas) es la únicas posible relación de dependencia y por tanto son independientes.

Saludos.