Autor Tema: Homorfismo evaluacion

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21 Junio, 2020, 05:46 pm
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conchivgr

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Hola.

Sea \( E \) un cuerpo de extension de \( F \) y \( \alpha \in{E} \). Entonces \( \alpha \) es trascendente sobre \( F \) si y solo si \( F(\alpha) \) es isomorfo a \( F(x) \), el cuerpo de fracciones de \( F[X] \).

La demostracion del teorema la comprendo, pero hay un paso, que ademas aparece en varios teoremas que no entiendo. La demostracion empieza por el homomorfismo evaluacion en \( \alpha \):

\( {\phi}_{\alpha}:F[X]\rightarrow{E} \).

Entonces \( \alpha \) es trascendente sobre \( F \) si y solo si \( {\phi}_{\alpha}(p(X))=p(\alpha)\neq 0 \) para todo polinomio no constante \( p(X)\in{F[X]} \), y esto es verdadero si y solo si \( ker_{{\phi}_{\alpha}}=0 \). Y dice: esto sucede cuando \( {\phi}_{\alpha} \) es \( 1-1 \).

Que yo sepa, eso sucede cuando \( {\phi}_{\alpha} \) es inyectivo. Esta dando por sentado entonces que el homomorfismo evaluacion es sobreyectivo?. Esto es asi para cualquier cuerpo y su extension?. Es siempre el homomorfismo evaluacion sobreyectivo?.

Besos.  :-*


21 Junio, 2020, 06:39 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Quieren decir inyectivo. 1-1 o "one-to-one" en muchos libros en inglés lo usan como sinónimo de inyectivo. Y entonces biyectivo es "one-to-one onto".

En general esa aplicación no es exhaustiva.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

21 Junio, 2020, 07:41 pm
Respuesta #2

conchivgr

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Muchas gracias.
Besos  :-*