Autor Tema: Integral y continuidad en un punto

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18 Junio, 2020, 07:49 am
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Swcd

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Sea \( f \) una función integrable en \( [-1,1] \) y continua en 0. Probar que \( \lim_{h \to 0^+}\int_{-1}^{1} \frac{h}{h^2+x^2}f(x)dx=\pi f(0) \)

Hay como indicación que si \( h \) es lo suficientemente pequeño entonces \( \frac{h}{h^2+x^2} \) es muy cercano 0 en la mayor parte de \( [-1,1] \)
Por esto por esto intento buscar un valor \(  a \in (0,1) \)  que depende de \( h \), tal que

\( \lim_{h \to 0^+}\int_{-1}^{-a}f(x) \frac{h}{h^2+x^2}dx=0 =\lim_{h \to 0^+}\int_{a}^{1}f(x) \frac{h}{h^2+x^2}dx \)

De esta forma \(  \lim_{h \to 0^+}\int_{-1}^{1}f(x) \frac{h}{h^2+x^2}dx  \) se reduce  a
\( \lim_{h \to 0^+}\int_{-a}^{a}f(x) \frac{h}{h^2+x^2}dx \), de ser correcto haciendo uso de la continuidad de \( f \) en 0 soy capaz de concluir el ejercicio; pero no logro saber si la forma de proceder es correcta y pues no he encontrado alguna otra manera.
Agradezco cualquier ayuda o corrección .

18 Junio, 2020, 11:04 am
Respuesta #1

geómetracat

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A ver si te sirve esto.

Modificado: en el spoiler había supuesto \( f \) continua en \( [-1,1] \) cuando solo es integrable.

Spoiler
Dado un \( a>0 \) fijado, tienes que:
\( \left| \int_a^1 \frac{h}{h^2+x^2}f(x) dx \right| \leq \int_a^1\left| \frac{h}{h^2+x^2} f(x)\right| dx \leq C\int_a^1 \frac{h}{h^2+x^2} dx \leq C \frac{h}{h^2+a^2} (1-a)  \),

donde he usado que por ser \( f \) continua está acotada en \( [-1,1] \) por \( C \) y que la función \( g(x)=\frac{h}{h^2+x^2} \) alcanza su máximo en \( [a,1] \) en \( x=a \).
La última expresión para \( a>0 \) fijo tiende a \( 0 \) cuando \( h \to 0^+ \).
El mismo argumento sirve para la integral entre \( -1 \) y \( -a \).
[cerrar]

Dado un \( a>0 \) fijado, tienes que:
\( \left| \int_a^1 \frac{h}{h^2+x^2}f(x) dx \right| \leq \int_a^1\left| \frac{h}{h^2+x^2} f(x)\right| dx \leq \frac{h}{h^2+a^2} \int_a^1|f(x)|dx \leq \frac{h}{h^2+a^2} \int_{-1}^1 |f(x)| dx  \),

donde he usado que la función \( g(x)=\frac{h}{h^2+x^2} \) alcanza su máximo en \( [a,1] \) en \( x=a \).
Por ser \( f \) integrable, la integral del lado derecho existe y es una constante. La última expresión para \( a>0 \) fijo tiende a \( 0 \) cuando \( h \to 0^+ \).
El mismo argumento sirve para la integral entre \( -1 \) y \( -a \).

La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)