Autor Tema: Anillo de ideales principales.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

19 Junio, 2020, 03:51 pm
Leído 200 veces

S.S

  • $$\pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 126
  • País: co
  • Karma: +0/-0
Hola a todos.
Estoy trabajando en la sección de los anillos de polinomios en Herstein y me pide probar lo siguiente.

Sea \( F \) um campo. Entonces \( F[x] \) es un dominio de ideales principales.
Inicie la prueba considerando \( A[x] \) un ideal de \( F[x] \) y tome el elemento de \( A[x] \) con norma menor.

Las interrogantes que me quedaron fueron:
1. ¿Por qué \( F \) tiene que ser campo?
2. ¿ Este resultado no lo obtengo solo pidiendo que \( F \) sea un dominio de integridad?¿Que sucede cuando \( F \) es solo un anillo?
3.¿Qué relación tiene \( A \) con \( F \)? ¿Es solo un subanillo?

19 Junio, 2020, 05:06 pm
Respuesta #1

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,873
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Citar
1. ¿Por qué \( F \) tiene que ser campo?
2. ¿ Este resultado no lo obtengo solo pidiendo que \( F \) sea un dominio de integridad?¿Que sucede cuando \( F \) es solo un anillo?
Si \( F \) no es un cuerpo (campo), entonces el resultado es falso en general. Por ejemplo, \( \Bbb Z[X] \) no es un dominio de ideales principales (el ideal \( (2,X) \) no es principal, por ejemplo). En particular es falso si \( F \) no es cuerpo, aunque pidas que sea dominio de integridad.

Citar

3.¿Qué relación tiene \( A \) con \( F \)? ¿Es solo un subanillo?

La verdad es que no entiendo la indicación ni la notación (y diría que la notación es errónea). Yo diría algo como: sea \( I \subseteq F[X] \) un ideal no nulo arbitrario, y toma un polinomio \( f \) no nulo en \( I \) del menor grado posible. Entonces, comprueba que \( I=(f) \), y por tanto \( I \) es principal.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

19 Junio, 2020, 06:16 pm
Respuesta #2

S.S

  • $$\pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 126
  • País: co
  • Karma: +0/-0
Hola geómetracat.
Muchas gracias por los aportes, me queda lo siguiente de la intervención.

1. ¿No es licito (no es correcta la notación) decir que un subconjunto sea subanillo o ideal de \( F[x] \) es la forma \( A[x] \)?Suponiendo que fuera licito entonces queda la pregunta de la relación del conjunto de los coefientes \( A \) con \( F \).
2. ¿Puedo rebajar la condición de F campo a otra para que \( F[x] \) siga siendo anillo?
La verdad apenas estoy estudiando este objeto. Gracias.

19 Junio, 2020, 06:54 pm
Respuesta #3

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,873
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Sobre 1, no, la notación está mal. Por ejemplo, el ideal \( (X) \) no lo puedes escribir de la forma \( A[X] \) para un anillo \( A \). De hecho, el único ideal que es de la forma \( A[X] \) es el ideal total, \( F[X] \). Porque si un ideal es de la forma \( A[X] \) para algún subanillo \( A \) de \( F \), entonces \( 1 \in A[X] \) y el único ideal que contiene al \( 1 \) es el total.

Sobre 2, \( F[X] \) siempre es anillo. Supongo que querías decir dominio de ideales principales. En ese caso la respuesta es no: \( F[X] \) es dominio de ideales principales si y solo si \( F \) es un cuerpo. Te pongo la demostración a continuación.

En efecto, si \( F[X] \) es DIP, entonces es claro que \( F \) es dominio de integridad.
Ahora, si \( F \) no es cuerpo, existe un elemento no nulo y no invertible \( a \). Entonces \( (X,a) \) es un ideal de \( F[X] \) que no es principal. En efecto, por un lado \( (a,X) \neq F[X] \) porque en caso contrario tendrías \( 1=ag(X)+Xh(X) \) para algunos polinomios \( g(X),h(X) \in F[X] \). Pero mirando el término de grado \( 0 \) de la igualdad se ve que \( 1=ab \) para algún \( b \in F \), contradicción porque \( a \) era no invertible.

Ahora afirmo que \( (a,X) \) no es principal. Si fuera principal tendrías \( (a,X)=(f(X)) \) para algún \( f(X) \in F[X] \). Pero como \( a \) (que tiene grado \( 0 \)) es múltiplo de \( f(X) \), \( f(X) \) debe tener grado \( 0 \). Pero entonces \( X = fg(X) \), donde \( g \) es un polinomio forzosamente de grado \( 1 \). Poniendo \( g(X)=bX+c \) tienes que \( X=fbX+fc \), luego \( fc=0 \) y \( fb=1 \). Esto implica que \( f \) es invertible en \( F \) y por tanto \( (f)=F[X] \), contradicción con el hecho de que \( (a,X) \neq F[X] \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

19 Junio, 2020, 07:34 pm
Respuesta #4

S.S

  • $$\pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 126
  • País: co
  • Karma: +0/-0
Gracias geómetracat. Esto me aclara más las cosas.

Pero aun sigo con lo mismo. ¿Si \( F \) es anillo entonces \( F[x] \) es anillo?. pues creo que si e hice la comprobación pero no sé si este bien.

19 Junio, 2020, 07:37 pm
Respuesta #5

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,873
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Sí, claro. Es una cuestión rutinaria (comprobar los axiomas de anillo para \( F[X] \)), usando la definición de suma y producto de polinomios.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

19 Junio, 2020, 07:49 pm
Respuesta #6

S.S

  • $$\pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 126
  • País: co
  • Karma: +0/-0
 :D Ahora si. Gracia geómetracat.