Autor Tema: Ecuación que no admite solución en los enteros positivos

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15 Junio, 2020, 09:33 pm
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JoanL

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Hola a todos y todas.
Estoy viendo la construcción de los números racionales y me encontré con el siguiente ejercicio:
\( \textrm{Demuestre que la ecuación }m^2=12n^2 \textrm{ no admite solución en los enteros positivos.} \)
Pensé en demostrarlo por contradicción. Suponer que si admite solución entera. Así que supuse que \( m_0,n_0\in{}\mathbb{Z^+} \) son unas soluciones del sistema. Entonces \( m_0^2=12n_0^{2} \). Como \( m_0^2>n_0^2 \) entonces \( m_0^2=n_0^2+t \), para algún \( t\in{\mathbb{Z^+}} \). Luego, \( n_0^2+t=12n_0^2 \).
Hice eso para tratar de hacer una ecuación diofántica. Sin embargo, me estanqué y no he podido pasar de ahí.
Les agradecería mucho la ayuda que me puedan brindar.
Saludos.

15 Junio, 2020, 10:35 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola a todos y todas.
Estoy viendo la construcción de los números racionales y me encontré con el siguiente ejercicio:
\( \textrm{Demuestre que la ecuación }m^2=12n^2 \textrm{ no admite solución en los enteros positivos.} \)
Pensé en demostrarlo por contradicción. Suponer que si admite solución entera. Así que supuse que \( m_0,n_0\in{}\mathbb{Z^+} \) son unas soluciones del sistema. Entonces \( m_0^2=12n_0^{2} \). Como \( m_0^2>n_0^2 \) entonces \( m_0^2=n_0^2+t \), para algún \( t\in{\mathbb{Z^+}} \). Luego, \( n_0^2+t=12n_0^2 \).
Hice eso para tratar de hacer una ecuación diofántica. Sin embargo, me estanqué y no he podido pasar de ahí.

Supón que tiene solución \( (m,n) \), es decir, existen enteros positivos tales que \( m^2=12n^2 \). Entonces es inmediato que \( (m/mcd(m,n),n/mcd(m/n)) \) es también solución. Por tanto podemos suponer sin pérdida de generalidad que \( m \) y \( n \) son coprimos.

Ahora dado que \( m^2=12n^2 \) entonces \( m^2 \) es múltiplo de \( 3 \) y por tanto \( m \) es múltiplo de \( 3 \). Entonces \( m=3k \) y:

\( (3k)^2=12n^2\quad \Rightarrow{}\quad 3k^2=4n^2 \)

Por tanto \( n^2 \) es múltiplo de \( 3 \) y así \( n \) es múltiplo de \( 3 \). Pero eso contradice que \( m \) y \( n \) son coprimos (ambos son múltiplos de 3).

Saludos.

16 Junio, 2020, 07:24 am
Respuesta #2

feriva

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Les agradecería mucho la ayuda que me puedan brindar.
Saludos.

Si descompones en primos, \( m^{2}=3\cdot(2^{2}\cdot n^{2})
  \); \( m^{2}=3\cdot k^{2}
  \), entonces \( m^2 \) no puede ser un cuadrado, me parece, queda cojo.

Saludos.