Autor Tema: Distancia entre conjuntos.

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14 Junio, 2020, 12:14 am
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ASamuel

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Hola amigos, podría ayudarme con lo siguiente por favor:

He estado leyendo una demostración de lo siguiente:

Si \( A,B \) son subconjuntos no vacíos de un espacio métrico \( (X,d) \) pruebe que:

\( d(A,B)=d(\bar{A}, \bar{B}) \)
Con \( d(A,B) \)=\( \inf \){\( d(a,b) : a\in A, b\in B \)}

Donde \( \bar{A} \) denota la cerradura de un conjunto.

La prueba es la siguiente:
Dado que \( A\subset \bar{A} \) y \( B\subset \bar{B} \), tenemos qué \( d(A,B)\geq d(\bar{A}, \bar{B}) \) ya qué el infímo de un subconjunto más pequeño es más grande.

Ahora, para \( \epsilon>0 \), tomemos \( c\in \bar{A} \), \( e\in \bar{B} \) tal que \( d(c,e)\leq d(\bar{A}, \bar{B})+\epsilon \).

Tomemos \( a\in A \), \( b\in B \) tal qué \( d(a,c)\leq  \epsilon \), \( d(b,e)\leq  \epsilon \)

Entonces \( d(A,B)\leq d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,e)+d(e,b)\leq d(\bar{A}, \bar{B})+3\epsilon \)                  \( (*) \)

Dado que \( \epsilon>0 \) es arbitraria, podemos concluir que \( d(A,B)\leq d(\bar{A},\bar{B}) \)

Quisiera saber si la prueba es correcta o si conocen otra y saber, ¿por qué el hecho de que \( \epsilon>0 \) sea arbitraria hace que se pueda omitir de \( (*) \)? Les agradezco mucho su ayuda.

Saludos.

14 Junio, 2020, 02:22 am
Respuesta #1

Masacroso

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Dado que \( \epsilon>0 \) es arbitraria, podemos concluir que \( d(A,B)\leq d(\bar{A},\bar{B}) \)

Quisiera saber si la prueba es correcta o si conocen otra y saber, ¿por qué el hecho de que \( \epsilon>0 \) sea arbitraria hace que se pueda omitir de \( (*) \)? Les agradezco mucho su ayuda.

Saludos.

La prueba es correcta y es una estrategia usual que verás en más de una ocasión. Como \( d(A,B)\leqslant d(\overline{A},\overline{B})+3\epsilon  \) para todo \( \epsilon >0 \) entonces al tomar el límite cuando \( \epsilon \to 0^+ \) a ambos lados de la desigualdad la desigualdad se mantiene.



Otra demostración, que esencialmente es la misma demostración, sería la siguiente: de la definición de ínfimo vemos que existen sucesiones \( (x_n),\, (y_n) \) contenidas respectivamente en \( \overline A \) y \( \overline B \) tales que

\( \displaystyle{
\lim_{n\to\infty}d(x_n,y_n)=d(\overline A,\overline B)
} \)

Ahora definimos sucesiones \( (x'_n),\,(y_n') \) en \( A \) y \( B \) respectivamente del siguiente modo: como \( x_n\in\overline A \) entonces necesariamente existe un \( x'_n\in A \) tal que \( d(x_n,x'_n)<2^{-n} \), y lo mismo hacemos con la sucesión \( (y_n') \). Entonces vemos que

\( \displaystyle{
\lim_{n\to\infty}d(x_n',y_n')\leqslant \lim_{n\to\infty}(d(x_n',y_n)+d(y_n',y_n))
\leqslant \lim_{n\to\infty}(d(x_n,y_n)+d(x_n,x_n')+d(y_n,y_n'))=d(\overline{A},\overline{B})+0+0
} \)

Por tanto \( d(A,B)\leqslant d(\overline{A},\overline{B})  \), y como \( A\subset \overline{A},\, B\subset \overline{B} \) también tenemos que \( d(\overline{A},\overline{B})\leqslant d(A,B) \).

14 Junio, 2020, 02:54 am
Respuesta #2

ASamuel

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La prueba es correcta y es una estrategia usual que verás en más de una ocasión. Como \( d(A,B)\leqslant d(\overline{A},\overline{B})+3\epsilon  \) para todo \( \epsilon >0 \) puedes tomar el límite cuando \( \epsilon \to 0^+ \) a ambos lados de la desigualdad \( d(\overline{A},\overline{B})\leqslant d(A,B) \).

Muchas gracias por la respuesta. Tendré en cuenta tu demostración.
Saludos.