Autor Tema: Ideal maximal

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12 Junio, 2020, 01:58 pm
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conchivgr

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Hola.

Estoy intentando demostrar que un ideal de un anillo es maximal, y no se si estoy siguiendo el camino correcto, o es mucho mas facil de lo que lo estoy haciendo.

Si tenemos el cuerpo de funciones racionales podemos definir el anillo de valuacion correspondiente a un polinomio monico irreducible
\( p\left(X\right)\in K\left[X\right] \) como sigue:

\( \mathcal{O}_{p\left(X\right)}=\left\{ \frac{f\left(X\right)}{g\left(X\right)}\mid f\left(X\right),g\left(X\right)\in K\left[X\right],p\left(X\right)\nmid g\left(X\right)\right\} \).

Tengo que demostrar que el siguiente ideal (llamado plaza) contenido en el anillo de valuacion anterior es maximal:

\( P_{p\left(X\right)}=\left\{ \frac{f\left(X\right)}{g\left(X\right)}\mid f\left(X\right),g\left(X\right)\in K\left[X\right],p\left(X\right)\nmid g\left(X\right) , p\left(X\right)\mid f\left(X\right) \right\} \).

Si \( I_{p(X)} \) es otro ideal del anillo de valuacion, tenemos que demostrar que el ideal \( P_{p(X)} \) es maximal y por lo tanto no esta contenido en \( I_{p(X)} \).

El ideal \( I_{p(X)} \) esta formado por los polinomios que son multiplos de los polinomios del anillo de valuacion, es decir,

\( I_{p(X)}=\left\{ \frac{f\left(X\right)}{g\left(X\right)}r(X) \mid f(X),g(X),r(X)\in K\left[X\right],p\left(X\right)\nmid g\left(X\right) \right\} \).

Sea entonces \( q(X)\in{P_{p(x)}} \). Tenemos que demostrar que \( q(X)\not\in{I_{p(x)}} \).

Por reduccion al absurdo, supongamos que \( q(X)\in{I_{p(x)}} \).

1) Como \( q(X)\in{P_{p(x)}} \), tenemos que \( q(X)=\frac{f(X)}{g(X)} \) con \( p\left(X\right)\nmid g\left(X\right),p\left(X\right)\mid f\left(X\right) \).

2) Como \( q(X)\in{I_{p(x)}} \), tenemos que \( q(X)=\frac{f(X)}{g(X)}r(x) \) con \( p\left(X\right)\nmid g\left(X\right) \).

De 1), tenemos que \( p\left(X\right)\mid f\left(X\right) \), por lo que existe un \( s(X) \) tal que \( f(X)=s(X)p(X) \).

Sustituyendo en 2), tenemos que: \( q(X)=\frac{f(X)}{g(X)}r(x)=\frac{s(X)r(X)p(X)}{g(X)} \).

Y de aqui deberia obtener una contradiccion, no la veo......... o me he complicado demasiado?.

Besos.

12 Junio, 2020, 02:35 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Creo que te has complicado demasiado. Por un lado no entiendo la definición que pones de \( I_{p(X)} \). Dices que es un ideal arbitrario del anillo de valuación, pero por la definición que pones parece que sean los múltiplos de un polinomio \( r(X) \), ¿o no lo estoy entendiendo bien? En cualquier caso para asumir eso habría que justificar o decir previamente que el anillo de valuación es un anillo de ideales principales (que es verdad). Por otro lado, después dices "sea \( q(X) \in P_{p(X)} \) y tenemos que ver que \( q(X) \notin I_{p(X)} \)". ¿Por qué? Puedes tener polinomios de \( I_{p(X)} \) que sí que estén en \( P_{p(X)} \). De hecho, podría pasar que \( I_{p(X)} = P_{p(X)} \).

En este caso, la manera más sencilla de ver que \( P_{p(X)} \) es un ideal maximal del anillo de valuación (y como extra, que es el único ideal maximal, es decir, que el anillo de valuación es un anillo local), es ver que si \( \frac{f(X)}{g(X)} \notin P_{p(X)} \), entonces es una unidad del anillo de valuación. En efecto, si no está en \( P_{p(X)} \) tienes que \( p(X) \not\mid f(X) \), por lo que \( \frac{g(X)}{f(X)} \in \mathcal{O}_{p(X)} \) y este elemento es claramente el inverso.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

12 Junio, 2020, 03:45 pm
Respuesta #2

conchivgr

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Hola.

Muchas gracias, sabia que me estaba complicando demasiado.

Con la definicion del ideal \( I_{p(X)} \) trataba de definir un ideal arbitrario del anillo de valuacion, haciendo igual que con el anillo de polinomios, es decir, un ideal arbitrario generado por un polinomio esta formado por los multiplos del polinomio, trataba de definir un ideal cualquiera.

Luego, claramente, me equivoque al tratar de demostrar que, una vez definido ese ideal arbitrario, el ideal \( P_{p(X)} \) no estaria contenido en el. Para ello, debia demostrar que al menos un elemento de este ultimo ideal esta fuera del arbitrario, demostrando entonces que no puede estar totalmente contenido.

Aun asi, es complicarme la vida pudiendolo hacer como has indicado.

Entonces, un elemento que NO pertenece a un ideal maximal, entonces es una unidad del anillo, no?. Esto es un resultado basico de la teoria de anillos, no?

Besos.  :-*

12 Junio, 2020, 03:59 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Entonces, un elemento que NO pertenece a un ideal maximal, entonces es una unidad del anillo, no?. Esto es un resultado basico de la teoria de anillos, no?

No. El resultado preciso es el siguiente. Sea \( R \) un anillo conmutativo e \( I \) un ideal. Todo elemento de \( R-I \) es una unidad si y solo si \( I \) es el único ideal maximal de \( R \). (En particular, \( R \) es un anillo local.)
Puedes probar a demostrarlo si quieres, no debería ser difícil.

Pero si tienes un anillo con varios ideales maximales, no es cierto que todo elemento fuera de un ideal maximal es una unidad. Por ejemplo, en \( \Bbb Z \) el ideal \( (2) \) es maximal y \( 3 \notin (2) \), pero \( (3) \) no es una unidad.

La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

12 Junio, 2020, 06:10 pm
Respuesta #4

conchivgr

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Hola, gracias.

Sea \( R \) un anillo conmutativo e \( I \) un ideal de \( R \). Todo elemento de \( R−I \) es una unidad si y solo si \( I \) es el único ideal maximal de \( R \).

\( \Rightarrow{} \)
Sea \( R \) un anillo conmutativo e \( I \) un ideal de \( R \), donde todo elemento de \( R−I \) es una unidad.
Tenemos que cada ideal (excepto el ideal \( (1) \)) esta formado por elementos que no son unidades, por lo que esta contenido en \( I \). Por lo tanto \( I \) es el unico ideal maximal de \( R \).

\( \Leftarrow{} \)
Sea \( R \) un anillo conmutativo e  \( I \) su único ideal maximal. Como todo elemento no invertible esta contenido en un ideal maximal, e \( I \) es el unico ideal maximal de \( R \), \( R−I \) solo contiene unidades.

Espero que sea correcto.

Besos. :-* :-*

12 Junio, 2020, 08:18 pm
Respuesta #5

geómetracat

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Perfecto.  :aplauso:
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12 Junio, 2020, 09:03 pm
Respuesta #6

conchivgr

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Para vosotros y todo lo que me enseñais.
Besos    :-*   :-*

14 Junio, 2020, 01:05 pm
Respuesta #7

conchivgr

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Perfecto.  :aplauso:

Hola.

Al final de este capitulo, hay una cosa que no comprendo, quizas es otro resultado de algebra que estoy pasando por alto.

Dice que el polinomio \( p(X) \) es un elemento generador del ideal maximal \( P_{p(X)} \).
Por lo que \( P_{p(X)}=p(x)\mathcal{O}_{p(X)} \). Eso es claro lo veo.

Sin embargo, luego dice que cualquier elemento \( z\in{K(X)} \) puede escribirse en la forma

\( z={p(X)}^n(\frac{f(X)}{g(X)}) \)

donde \( n\in{\mathbb{Z}} \)

y \( \frac{f(X)}{g(X)} \) es una unidad del anillo de valuacion tal que \( p(X) \nmid g(X) \) y \( p(X) \nmid f(X) \).

Esta ultima frase no consigo verla. Es decir, un elemento cualquiera del cuerpo de funciones racionales, se puede escribir en funcion de un elemento generador de un ideal maximal de un anillo local definido dentro del cuerpo, y una unidad?.

No consigo deducir esto ultimo.

Besos.  :-*

14 Junio, 2020, 01:22 pm
Respuesta #8

geómetracat

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Si tienes un elemento de \( \mathcal{O}_{p(X)} \) sabes que es de la forma \( \frac{f(X)}{g(X)} \) con \( p(X) \not\mid g(X) \). Ahora, como \( K[X] \) es un dominio de factorización única, puedes poner \( f(X)=(p(X))^kh(X) \) donde \( p(X) \not\mid h(X) \). Entonces tienes que:
\( \frac{f(X)}{g(X)} = (p(X))^k \frac{h(X)}{g(X)} \), que es lo que querías.

La teoría abstracta que hay detrás de todo esto es que \( \mathcal{O}_{p(X)} \) es un anillo de valuación discreta (DVR, por "discrete valuation ring" en inglés). Estos son un tipo muy especial de anillos locales, donde al margen de existir un único ideal maximal, éste es principal y solamente tienes otro ideal primo: el \( (0) \). En este tipo de anillos siempre puedes factorizar de la forma dada: si el ideal maximal es \( (p) \) entonces un elemento cualquiera del anillo es de la forma \( p^ku \) donde \( u \) es una unidad. Pero esto es falso en anillos locales en general.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

14 Junio, 2020, 02:03 pm
Respuesta #9

conchivgr

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Hola.
Muchas gracias.
No entiendo cómo me hacen estudiar todo esto,  si primero necesito saber más álgebra básica.
Besos.  :-*

14 Junio, 2020, 02:25 pm
Respuesta #10

geómetracat

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Si lo dices por lo que te he contado de los DVR, no es necesario para nada, es solo información adicional. De hecho estos ejemplos pueden servir como motivación para el concepto general de DVR. Para entender el ejercicio lo único que debes saber es que tienes factorización única en \( K[X] \), que es algo que se debería ver en un primer curso de álgebra abstracta.

De todas maneras, por curiosidad, ¿esto de qué es? ¿Alguna asignatura de introducción a la geometría algebraica o algo así? ¿De qué curso?
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14 Junio, 2020, 03:03 pm
Respuesta #11

conchivgr

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Hola.
Es el trabajo fin de master sobre geometría algebraica.
Todos éstos conceptos los relacionaré con curvas planas.  De hecho,  tengo una relación uno a uno entre los ideales maximales y los puntos de una variedad algebraica,  y creo que esta correcto,  pero puede que tenga una condición innecesaria,  seguramente lo consulte luego.
Besos.
 :-* :-*

14 Junio, 2020, 05:54 pm
Respuesta #12

conchivgr

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Hola.

Partiendo del anillo de polinonios en dos indeterminadas \( K[X,Y] \), y una variedad irreducible \( V \), el anillo de coordenadas viene dado por las clases de residuos

\(  \Gamma (V)= K[X,Y]/I(V) \), siendo \( I(V) \) el ideal de la variedad.

Sabemos que \( I(V) \) es primo, por lo que \(  \Gamma (V) \) es un domino integral, por lo que podemos definir el cuerpo de funciones racionales:

\( K(V)=\{  \frac{f(X,Y)}{g(X,Y)}| f(X,Y),g(X,Y)\in{ \Gamma (V)} \} \)

Hasta aqui, todo bien, nada nuevo.

Ahora, a cada punto de la variedad \( V \), que podria ser cada punto de una curva plana, le asignamos una plaza, correspondencia que es uno a uno. Sea un punto \( P=(a,b) \).

El anillo de valuacion correspondiente al punto \( P=(a,b) \) es:

\( \mathcal{O}_{P}= \{  q\in{K(V)}|q=\frac{f(X,Y)}{g(X,Y)}, g(a,b)=0 \} \).

cuyo ideal maximal es la plaza:

\( \mathcal{P}_{P}= \{  q\in{K(V)}|q=\frac{f(X,Y)}{g(X,Y)}, f(a,b)=0 \} \).

Mi duda es:

esta bien definido el anillo de valuacion poniendo \( g(a,b)=0 \), o bastaria poner \( g(a,b) \neq 0 \)?.

Creo que habria que poner \( g(a,b) \neq 0 \), ya que por definicion, el anillo local son la funciones definidas en \( P \). Sobra entonces \( g(a,b)=0 \)?.

Esta bien definida la plaza?.

Besos  :-*

14 Junio, 2020, 06:57 pm
Respuesta #13

geómetracat

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Hola.
Es el trabajo fin de master sobre geometría algebraica.
Todos éstos conceptos los relacionaré con curvas planas.  De hecho,  tengo una relación uno a uno entre los ideales maximales y los puntos de una variedad algebraica,  y creo que esta correcto,  pero puede que tenga una condición innecesaria,  seguramente lo consulte luego.
Besos.
 :-* :-*

Ah, es un tema muy interesante. Entiendo entonces que es la primera vez que haces algo de geometría algebraica (o al menos con un enfoque algebraico).

Mi duda es:

esta bien definido el anillo de valuacion poniendo \( g(a,b)=0 \), o bastaria poner \( g(a,b) \neq 0 \)?.

Creo que habria que poner \( g(a,b) \neq 0 \), ya que por definicion, el anillo local son la funciones definidas en \( P \). Sobra entonces \( g(a,b)=0 \)?.

Esta bien definida la plaza?.

La definición de \( \mathcal{O}_P \) tiene que ser con \( g(a,b) \neq 0 \). Lo de \( g(a,b)=0 \) está mal. Si lo has sacado de algunos apuntes o de algún libro seguro que es una errata.

La idea geométrica es que \( \mathcal{O}_P \) son las funciones racionales que están definidas en algún entorno abierto de Zariski de \( P \). La función racional \( \frac{f(X,Y)}{g(X,Y)} \) está bien definida en el complemento del conjunto \( \{ (x,y) | g(x,y)=0\} \). Este último conjunto es un cerrado de Zariski, de forma que su complemento es un abierto de Zariski y \( P \) pertenece a ese abierto si y solo si \( g(a,b) \neq 0 \). Así que lo que debes pedir es que \( g(a,b) \neq 0 \).
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14 Junio, 2020, 08:27 pm
Respuesta #14

conchivgr

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Muchas gracias.

El ideal maximal con el numerador nulo es correcto,  verdad?

Besos  :-*

14 Junio, 2020, 08:50 pm
Respuesta #15

geómetracat

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Sí, es correcto. El ideal maximal son las funciones de \( \mathcal{O}_{P} \) que se anulan en \( P \).
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14 Junio, 2020, 11:28 pm
Respuesta #16

conchivgr

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Gracias.
Besos  :-*