Autor Tema: Existencia del mínimo común múltiplo.

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11 Junio, 2020, 04:12 pm
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S.S

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Hola.
Tengo la siguiente duda en el inicio de una prueba. Lo que tengo que probar es:

Sea \( R \) un dominio euclidiano y \( a, b \in R \). Pruebe que existe el mínimo común múltiplo de \( a \) y \( b \).

La prueba quise iniciarla sin ver los libros e propuse esto.

Sea \( A = (ab) \) sea \( c = min\left\{ d(k) :  k \in A \right\} \),  asi \( A = (c) \) (aquí \( d \) es la función relacionada con un dominio euclediano)... (De aquí la prueba se puede desarrollar sin problemas suponiendo que este bien el inicio).

Preguntas:
1. ¿Se puede iniciar la prueba de esta forma? (lo tradicional es con la intersseción de \( (a)\cap{(b)} \))
2. Esta es una duda cuando estaba planteando la prueba. Si \( A = (a) \) y \( B = (b) \) \( a, b \) en \( R \) entonces \( A \cap{B} = (ab) \)? La contenencia \( (ab) \subseteq{A \cap{B}} \) se tiene, pero la otra no creo que se tenga pero no hallo el ejemplo.

11 Junio, 2020, 05:40 pm
Respuesta #1

geómetracat

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No, así no llegarás muy lejos. Además, si \( A=(ab) \) entonces el elemento de \( A \) no nulo de norma euclídea mínima (que supongo que es a lo que te referías) es \( c=ab \) (o un asociado suyo), porque como los elementos de \( A \) son los múltiplos de \( ab \), el elemento (distinto de cero) con menor norma euclídea es el propio \( ab \).

El motivo de fondo por el que esto no funciona es la respuesta a tu segunda pregunta: en general \( (a) \cap (b) \neq (ab) \). Por ejemplo, si \( a=2,b=4 \) entonces \( (2) \cap (4)=(4) \) (porque \( (4) \subset (2) \)) pero \( (ab)=(8) \).

De hecho, \( (a) \cap (b) = (ab) \) si y solo si \( a \) y \( b \) son coprimos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

13 Junio, 2020, 09:13 pm
Respuesta #2

S.S

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Muchas gracias geómetracat por su intervención. tambien después de poner el mensaje pensé en los ideales de \( \mathbb{Z} \) como son \( 5\mathbb{Z} \) y \( 15\mathbb{Z} \). Los cuales hacen invalida mi segunda afirmación.